Zyklische Gruppe

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loyloep Auf diesen Beitrag antworten »
Zyklische Gruppe
Wieviele und welche Lösung hat die Gleichung in , p> 2?

Ich würde sagen, die Gleichung hat zwei Lösungen, weil es eine quadratische Gleichung ist. Aber ich bin mir nicht sicher, ob sich dies in dem Körper anders verhält. Wie kann ich das überprüfen und wie finde ich alle Lösungen?
agsdg Auf diesen Beitrag antworten »

Soll p hier eine Primzahl sein?
agsdg Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenn ein Körper ist, dann wird p wohl eine Primzahl sein...

Die Lösungen sind 1 und -1 bzw. das was die -1 jeweils in ist.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
die sache ist einfach:
Bringe eine seite der gleichung auf 0, denk an die 3.bin. fornel und nutze aus,
das Z/pZ als körper nullteilerfrei ist. Augenzwinkern
gruss ollie3
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, p ist eine Primzahl.

Eure Ausführungen habe ich verstanden und ich bin auf das Ergebnis gekommen. Vielen Dank!
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Wieviele Lösungen hat die Gleichung in mit p, q sind Primzahlen?

Wie sehen die Bilder Lösungen unter dem chinesischen Restsatz-Isomorphismus aus?
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
jetzt sieht die sache natürlich anders aus.
Am besten du probierst das mal mit n=15, also p=3 und q=5 aus.
Welche lösungen ausser 1 und -1 kommen jetzt hinzu? In welcher beziehung
stehen die neuen lösungen zu p und q ? Das wird dir auch bei der 2. frage helfen. Augenzwinkern
gruss ollie3
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Als Lösung komme ich auf -1 und +1. Aber di ezwei anderen Lösungen finde ich nicht. Ich habe das Beispiel genutzt was DU Olli vorgeschlagen hast, n=15, p=3, q=5.

Wie gehe ich vor um die anderen zwei Lösungen zu finden? Ist der Ring noch Nullteilerfrei?
agsdg Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der Ring ist natürlich nicht mehr Nullteiler frei.
Ein Beispiel findest du bestimmt selber wo

ist aber

Naja, schreibe es dir doch einmal hin:



Diese 15 Zahlen quadrierst du eben und guckst welche davon modulo 15 den Rest 1 lassen.
Eine kurze Vorüberlegung (mit Endziffern) schließt vorher schon viele aus und erleichtert die Suche.
Welche Endziffern kann eine Zahl nur haben um mod 15 den Rest 1 zu lassen?
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe z.B. 4^2 = 16 = 1 mod 15
agsdg Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und weiter?

Hast du auch ein Beispiel für , aber gefunden?
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

ICh habe noch keine Kombination gefunden für
agsdg Auf diesen Beitrag antworten »

Der kausale Zusammenhang erschließt sich mir nicht.

Warum suchst du nach genau so einer Konstellation?
Lustigerweise gibt es hier sogar eine.
Für a=4

und



Oder wolltest du gar nicht darauf hinaus, dass der Ring kein Integritätsbereich ist?
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