einfache Umformung

04.03.2015, 17:48	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
einfache Umformung Hallo zusammen, wie geht folgende Umformung von statten: $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R} \|2\eta - 1\|1_{(-\infty,0]}((2\eta-1)sign(f))dP_x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq\int_{0<\|2\eta-1\|<t} \|2\eta - 1\|1_{(-\infty,0]}((2\eta-1)sign(f))dP_x+\int_{\|2\eta-1\|\geq t} \|2\eta - 1\|1_{(-\infty,0]}((2\eta-1)sign(f))dP_x +\int_{\|2\eta-1\|=0} \|2\eta - 1\|1_{(-\infty,0]}((2\eta-1)sign(f))dP_x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq t P_x(0<\|2\eta-1\|<t)+\frac{1}{t}\int_{} \|2\eta - 1\|^2 1_{(-\infty,0]}((2\eta-1)sign(f))dP_x+0 \end{eqnarray}$ Mir geht es dabei eigentlich nur um letzte Abschätzung. Wie ensteht dieses t und 1/t als Faktor? Danke und Grüße Edit: sorry , noch paar kleine Korrekturen gemacht.
04.03.2015, 17:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: einfache Umformung Ich tippe mal die Hälfte der 0 müssen durch eine 1 ersetzt werden. Und hier wäre es wichtig zu wissen, worüber man beim letzten Integral integriert. Auf den ersten Blick sieht das nämlich nicht richtig aus. Am Ende wird das (so vermute ich), auf die Gewichtung mit Young hinauslaufen: $\begin{eqnarray} ab \leq \frac t 2 a^2 + \frac 1 {2 t} b^2 \leq t a^2 + \frac 1 t b^2 \end{eqnarray}$ . Edit: Ok, die Hälfte der 0 musste durch t ersetzt werden. Dann sieht das doch sympathischer aus. Das erste Integral ist einfach eine sehr direkte Abschätzung. Also $\begin{eqnarray} \int_{ \|f\| < a} \|f\| \leq \int_{ \| f\| < a } a \leq a \| \{ \|f\| < a \}\| \end{eqnarray}$ .
04.03.2015, 17:57	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erst einmal. Nein, hab noch einmal editieren müssen, wie du ja schon festgestellt hast. Es müsste t sein, was du ein paar nullen ersetzt wird. Ansonsten fällt es mir schwer bei der letzten Abschätzung bei dem Integral einen Integrationsbereich anzugeben, da bei meinem Aufschrieb auch nichts steht.
04.03.2015, 18:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, man wird über die komplette reelle Achse integrieren müssen. Irgendwo muss man den Faktor gewinnen. Muss leider sagen, dass ich es spontan gerade nicht sehe. Es hat eine große Ähnlichkeit zu der Tschebbyscheff Ungleichung, aber ich sehe noch nicht wie man es hier hinbekommt.
04.03.2015, 18:12	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das hat mir schon etwas weitergeholfen, danke dafür. In meinem Aufschrieb findet sich folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray} ab\leq\frac{a^q}{q}+\frac{b^{q'}}{q'}, q,q'\in(1,\infty), q^{-1}+ q'^{-1}=1, a,b\leq 0 \end{eqnarray}$ Ist das ein Spezialfall? Edit: sorry, noch ein Fehler im ersten Post, ein Quadrat im zweiten Term.
04.03.2015, 18:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die folgt daraus. Man kann nämlich $\begin{eqnarray} ab = ( \frac a t ) \cdot (bt) \end{eqnarray}$ schreiben. Setzt man $\begin{eqnarray} a' = \frac a t, b' = bt \end{eqnarray}$ dann ist somit $\begin{eqnarray} ab = a'b' \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} ab = a'b' \leq \frac { (a')^p } p + \frac { (b')^q } q \end{eqnarray}$ mit p,q Hölder-dual. Setzt man die Definition von a' und b' ein, erhält man eine gewichtete Fassung. Ist sehr nützlich, weil man einen Summanden klein machen kann, wenn man verkraften kann, dass der andere größer wird. Insgesamt nennt sich die Ungleichung die Young Ungleichung (eine von vielen verschiedenen um genau zu sein.) Und die wird hier leider nicht helfen. Edit: ....Mit dem Quadrat ist es einfach die Hölder-Ungleichung. Edit 2: Weil ich jetzt einkaufen gehe: Es ist Hölder, du musst nur die Normiertheit des Maßes ausnutzen, und dass charakteristische Funktionen gleich ihrem Quadrat sind. Edit 3: Wohl doch nicht Hölder, weil die Wurzel fehlt....Sorry, ich guck später noch einmal. Edit 4: Soooo, was ein Spamfest. Man schreibt 1 = t / t und schätzt das eine t ab.
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04.03.2015, 18:27	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir schon einmal sehr dafür!
04.03.2015, 20:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, ob du meinen letzten Edit gesehen hast. Da hatte ich noch schnell die Lösung hingeschrieben bevor ich los bin.

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