Lösung goniometrischer Gleichung im Reellen bestimmen

04.03.2015, 20:00	RICKson	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung goniometrischer Gleichung im Reellen bestimmen Meine Frage: Guten Abend. Ich habe eine kleine Aufgabe, die ich gerechnet habe. Nur ich weiß nicht, ob das was ich gemacht habe auch nichtig ist. Die reellen Lösungen von [attach]37393[/attach] Meine Ideen: Ich habe das Additionstheorem mehrfach angewandt. Und komme dann auf: [attach]37394[/attach] Ergo 0=0 Aber wo habe ich jetzt meine Reelle Lösung ?
04.03.2015, 21:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle Lösungen gibt es unendlich viele. Du kannst für x jede beliebige Zahl einsetzen, die Gleichung wird immer richtig sein. Denn diese ist eine Identität, wie man leicht zeigen kann: $\begin{eqnarray} 1 - \cos x =2 \sin^2 \frac x 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin x = 2 \sin \frac x 2 \cos \frac x 2 \end{eqnarray}$ Damit kommt $\begin{eqnarray} \tan \frac x 2 = \frac {2 \sin^2 \frac x 2}{2 \sin \frac x 2 \cos \frac x 2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
04.03.2015, 22:04	Rickson	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort, dass heißt also ich kann als Lösung nur wahr angeben? Aber mal weiter gefragt, bei solchen Aufgaben sollte doch immer mit dem Additionstheorem gearbeitet werden oder?
04.03.2015, 22:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht die Lösung ist als "wahr" anzugeben, sondern die Aussagen, die durch Einsetzen der Lösung entstehen. Nur diese sind wahr. Die Lösung ist eine Menge (--> Lösungsmenge) und in diesem Falle ist sie $\begin{eqnarray} \mathbb L = \mathbb R \end{eqnarray}$ Mit dem Additionstheoremen zu arbeiten, ist nicht immer notwendig und auch oft nicht zu empfehlen. Das richtet sich ganz nach der vorliegenden Aufgabenstellung. Hier ist es besser, wegen des $\begin{eqnarray} \tan \frac x 2 \end{eqnarray}$ auf den halben Winkel überzugehen, dazu gibt es Beziehungen, die (auch) zum Teil aus den Additionstheoremen hervorgehen: $\begin{eqnarray} 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac x 2 \quad (\text{und auch } 1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac x 2) \end{eqnarray}$ <-- diese beiden sind sehr hilfreich $\begin{eqnarray} \sin x = 2 \sin \frac x 2 \cos \frac x 2 \quad \text{wegen } \sin 2x = 2 \sin x \cos x \end{eqnarray}$ mY+

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