Erzeuger Borel'sche Sigma-Algebra

05.03.2015, 09:56

Mathelover

Erzeuger Borel'sche Sigma-Algebra

Hallo zusammen,

ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht weiter.

Sei: $\begin{eqnarray*} B_r(x)=\left \{ y \in \mathbb{R}^d:|x-y| <r \right \} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \xi = \left \{ B_r(x) : x \in \mathbb{Q}^d, r\in\mathbb{R}_+ \right \} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger der Borel'schen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \mathbb{B}(\mathbb{R}^d) \end{eqnarray*}$ ist.

Leider habe ich kaum eine Idee.
Muss ich etwa zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} B_r \end{eqnarray*}$ erzeugt wird und dass $\begin{eqnarray*} B_r \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist?

Danke für jeden Hinweis.

05.03.2015, 10:08

HAL 9000

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Wie habt ihr die Borelsche Sigmaalgebra $\begin{eqnarray*} \mathbb{B}(\mathbb{R}^d) \end{eqnarray*}$ definiert, bzw. welche Erzeuger von ihr sind dir bereits bekannt, so dass du sie benutzen darfst?

Wenn etwa bereits bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} \left \{ B_r(x) : x \in \mathbb{R}^d, r\in\mathbb{R}_+ \right \} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger ist, dann musst du lediglich zeigen, dass jedes Element aus diesem Erzeuger durch abzählbare Vereinigungen/Durchschnitte etc. von Elementen aus $\begin{align*} \xi \end{align*}$ gebildet werden kann. Dabei hilft natürlich, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ dicht ist.

05.03.2015, 10:12

Mathelover

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Hi HAL,

die Borelsche Sigma Algebra haben wir folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{B}(\mathbb{R}^d) :=\mathbb{B}^d := \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma(O)^d \end{eqnarray*}$ ist die von den offenen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra und heißt Borel- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra.

05.03.2015, 16:22

Mathelover

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Ich komme leider nicht weiter mit der Aufgabe.

Wegen $\begin{eqnarray*} \xi \subseteq B_r \end{eqnarray*}$ gilt ja auch, dass $\begin{eqnarray*} \sigma (\xi) \subseteq B_r \end{eqnarray*}$ . Also bleibt doch nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} B_r \subseteq \sigma (\xi) \end{eqnarray*}$ oder?

05.03.2015, 17:44

HAL 9000

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Kann ich das jetzt als Bestätigung auffassen, dass du diesen Aussage

Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn etwa bereits bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} \left \{ B_r(x) : x \in \mathbb{R}^d, r\in\mathbb{R}_+ \right \} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger ist

schon zur Verfügung hast? Irgendwie muss ja die Verbindung zu den allgemeinen offenen Mengen hergestellt werden. Augenzwinkern

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Korrekt formuliert wäre es so: Sei $\begin{align*} \zeta:=\left\{ B_r(x) : x \in \mathbb{R}^d, r\in\mathbb{R}_+ \right\} \end{align*}$ .

Offenbar ist $\begin{align*} \xi \subseteq \zeta \end{align*}$ und damit $\begin{align*} \sigma(\xi) \subseteq \sigma(\zeta) \end{align*}$ .

Wollen wir auch $\begin{align*} \sigma(\zeta) \subseteq \sigma(\xi) \end{align*}$ nachweisen, so genügt es $\begin{align*} B_r(x) \in \sigma(\xi) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \in \mathbb{R}^d, r\in\mathbb{R}_+ \end{align*}$ nachzuweisen, wie ich es oben schon erwähnt hatte:

Zitat:

Original von HAL 9000
dann musst du lediglich zeigen, dass jedes Element aus diesem Erzeuger durch abzählbare Vereinigungen/Durchschnitte etc. von Elementen aus $\begin{align*} \xi \end{align*}$ gebildet werden kann. Dabei hilft natürlich, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ dicht ist.

05.03.2015, 17:49

Mathelover

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Ja, das ist bereits bekannt.

05.03.2015, 17:58

Mathelover

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Zitat:

Ich habe Schwierigkeiten, das ins mathematische zu übersetzen.
Meinst du mit dicht etwa: $\begin{eqnarray*} \sigma (\mathbb{Q}) \subseteq \sigma (\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ?

05.03.2015, 18:12

HAL 9000

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Nein, Dichtheit ist keine mengentheoretische, sondern topologische Eigenschaft. Ich skizziere mal die Idee, für die braucht man ein wenig geometrisches Vorstellungsvermögen:

Da $\begin{align*} \mathbb{Q}^d \end{align*}$ in $\begin{align*} \mathbb{R}^d \end{align*}$ dicht liegt, gibt es für jedes $\begin{align*} x\in\mathbb{R}^d \end{align*}$ eine Folge $\begin{align*} q_n\in \mathbb{Q}^d \end{align*}$ mit $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} q_n = x \end{align*}$ oder anders formuliert $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \|q_n-x\| = 0 \end{align*}$ . Wir betrachten im speziellen nur solche Folgen mit $\begin{align*} \|q_n-x\|<r \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ (ansonsten lassen wir ein genügend großes Anfangsstück der Folge weg), und definieren die Mengenfolge $\begin{align*} A_n := B_{r-\|q_n-x\|}(q_n) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} A:=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \end{align*}$ . Da alle $\begin{align*} A_n\in\xi \end{align*}$ , ist natürlich gemäß Sigmaalgebra-Eigenschaften auch $\begin{align*} A\in\sigma(\xi) \end{align*}$ .

Was steckt nun hinter dieser Folge? Man kann für sie nun $\begin{align*} A=B_r(x) \end{align*}$ zeigen, was ja das Ziel oben war:

Zitat:

Original von HAL 9000
Wollen wir auch $\begin{align*} \sigma(\zeta) \subseteq \sigma(\xi) \end{align*}$ nachweisen, so genügt es $\begin{align*} B_r(x) \in \sigma(\xi) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \in \mathbb{R}^d, r\in\mathbb{R}_+ \end{align*}$ nachzuweisen

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