Integral berechnen

05.03.2015, 18:16

DrHWI

Integral berechnen

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet
$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{dx}{(2+x)\sqrt{1+x}} \end{eqnarray*}$ .

Laut Musterlösung muss ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ substituieren. Und es soll dabei $\begin{eqnarray*} I=2arctan(\sqrt{1+x})+c \end{eqnarray*}$ herauskommen. Wenn ich nun rechne $\begin{eqnarray*} \int\!\frac{1}{u(2+x)}*\sqrt{1+x}du \end{eqnarray*}$ ... ich bin mir ab hier ehrlich gesagt nicht mehr sicher, wie ich fortfahren soll. Kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben? smile

Meine Ideen:
Wenn ich nun rechne $\begin{eqnarray*} \int\!\frac{1}{u(2+x)}*2\sqrt{1+x}\,du \end{eqnarray*}$ ... ich bin mir ab hier ehrlich gesagt nicht mehr sicher, wie ich fortfahren soll. Kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben? smile

05.03.2015, 18:25

HAL 9000

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Den Spruch hab ich nun schon zigmal im Board gebracht:

Das Substitutieren von $\begin{align*} x \end{align*}$ durch $\begin{align*} u \end{align*}$ bedeutet, dass jede, wirklich jede (!) Instanz von $\begin{align*} x \end{align*}$ durch einen entsprechenden $\begin{align*} u \end{align*}$ -Term zu ersetzen ist.

Diese "halb durchgeführten" Substitutionen mit stehenbleibenden $\begin{align*} x \end{align*}$ -Termen sind einfach nur furchtbarer Unfug, ich kann es nicht anders bezeichnen. unglücklich

Konkret hier: $\begin{align*} u=\sqrt{1+x} \end{align*}$ heißt $\begin{align*} x = u^2-1 \end{align*}$ und damit $\begin{align*} \dd x = 2u ~ \dd u \end{align*}$ , was ingesamt

$\begin{align*} \int \frac{\dd x}{(2+x)\sqrt{1+x}} = \int \frac{2u \dd u}{(2+u^2-1)u} = 2\int \frac{\dd u}{u^2+1} \end{align*}$

bedeutet.

05.03.2015, 18:40

DrHWI

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Entschuldige, Gott

aber ich bin davon ausgegangen, es wäre okay, da z.B. auch Aufgaben wie
$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{arctan(x)}{1+x^2}\,dx=\int \! \frac{u}{1+x^2}(1+x^2)\,du=\int \!u \, du=\frac{1}{2}u^2 +c = \frac{1}{2}arctan^2(x)+c \end{eqnarray*}$ so gelöst werden.

Verstehe ich das falsch oder lag auch hier keine vollständige Substitution vor? Oder behandelt man diesen Fall von Substitution anders, weil man sofort kürzen kann?

05.03.2015, 18:43

HAL 9000

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Nach dem Kürzen ist kein $\begin{align*} x \end{align*}$ mehr da, und das ist entscheidend. Irgendwie verblüfft es mich ein wenig, dass so viele offenbar die Substitution in der Schule nie richtig begriffen haben, und diese Versäumnisse dann an der Hochschule korrigieren müssen.

05.03.2015, 18:47

10001000Nick1

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Zitat:

Original von HAL 9000
Irgendwie verblüfft es mich ein wenig, dass so viele offenbar die Substitution in der Schule nie richtig begriffen haben, und diese Versäumnisse dann an der Hochschule korrigieren müssen.

Wenn man es denn überhaupt in der Schule hatte. Augenzwinkern

Integration durch Substitution habe ich in der Schule nie gelernt, genau so wie partielle Integration.

05.03.2015, 18:52

HAL 9000

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Tja, wir haben das "früher" (wo NICHT alles besser war) geschafft, und das in 12 Jahren Abitur. Aber das waren auch noch die 1980er, und zudem im Osten. Augenzwinkern

05.03.2015, 18:57

10001000Nick1

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Osten und 12 Jahre trifft für mich auch zu.
Außerdem wird heute im Unterricht nicht mehr zwischen Grund- und Leistungskursniveau unterschieden (zumindest in Sachsen-Anhalt); da werden dann natürlich weniger Themen behandelt als in einem reinen Leistungskurs (leider).

05.03.2015, 20:19

Dopap

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und bei einem bestimmten Integral $\begin{eqnarray*} \int_a^b \, f(x)~ \dd x \end{eqnarray*}$

wird oft vergessen, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{x=a}^{x=b} \, f(x)~ \dd x \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

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