Schnitt von Untervektorraeumen (Dimensionen)

05.03.2015, 20:13

idur

Schnitt von Untervektorraeumen (Dimensionen)

Meine Frage:
Hallo,

ich habe Schwierigkeiten zu die Dimensionsformel fuer Vektorraueme anzuwenden
Ich wuerde gerne daher ein Beispiel durchgehen, vllt. kann mir jmd sagen was ich falsch mache...

Seien U, Untervektorraueme eines R-Vektorraums V:

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} W = \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Dimensionen der UVR berechnen:

$\begin{eqnarray*} dim(U) = dim (kern (\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix})) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(W) = dim (kern (\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix})) = 1 \end{eqnarray*}$

Kern vom Schnitt der UVR ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} kern(W \cap U ) = kern(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -4\\ 1 & 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}) = \left\{\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Dimension des Schnitts berechnen:

$\begin{eqnarray*} dim(W \cap U ) = 3 \end{eqnarray*}$

Dimensionsformel:

$\begin{eqnarray*} dim(W + U) = dim(U) + dim(W) - dim(W \cap U ) = 1 + 1 - 3 = -1 \end{eqnarray*}$

Aber das kann ja wohl nicht stimmen...

Danke und Gruss

Meine Ideen:
Ich vermute das ich die Dimensionen der Untervektorraeume falsch berechene. Ich kann mir aber nicht vorstellen wie denn U+W daher auszusehen hat.

05.03.2015, 20:37

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RE: Schnitt von Untervektorraeumen (Dimensionen)
Da stimmt leider fast nichts.

Zitat:

Original von idur
$\begin{eqnarray*} dim(U) = dim (\textcolor{red}{kern} (\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix})) = 1 \end{eqnarray*}$

Du musst die Dimension des Bildes berechnen, nicht die des Kerns

Zitat:

Kern vom Schnitt der UVR

das ergibt überhaupt keinen Sinn. Ein UVR hat keinen Kern.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} kern(W \cap U ) = kern(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -4\\ 1 & 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}) = \left\{\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Hier muss es auch wieder die Dimension des Bildes sein. Abgesehen davon ist das auch so Unsinn, denn der Kern ist ein Vektorraum während rechts eine endliche Menge von Vektoren steht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} dim(W \cap U ) = 3 \end{eqnarray*}$

Wenn du vorher herausbekommen hast, dass U, W eindimensional sind, kann doch der Durchschnitt gar nicht die Dimension 3 haben.

05.03.2015, 23:33

idur

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Ok, danke fuer die Tipps,

ich hoffe dass das jetzt richtiger ist:

Seien U, Untervektorraueme eines R-Vektorraums V:

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} W = \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dim(U) = dim (Bild(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix})) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(W) = dim (Bild (\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix})) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Bild(W \cap U ) = Bild(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -4\\ 1 & 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}) = \left \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle \end{eqnarray*}$

Dimension des Schnitts berechnen:
$\begin{eqnarray*} dim(Bild(W \cap U )) = 1 \end{eqnarray*}$

Dimensionsformel:

$\begin{eqnarray*} dim(W + U) = dim (U) + dim(W) - dim(W \cap U) = 1 + 1 - 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn das richtig ist, hat jetzt V auch die Dimension eins? Wie sieht die Basis eines solchen Vektorraums aus?

06.03.2015, 18:13

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ok, zweite Runde Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ist eine zweielementige Menge, kein Vektorraum. Den VR, der von den beiden Elementen aufgespannt wird, bezeichnet man wahlweise mit Span(...) oder Lin(...) (für die lineare Hülle) oder - wie du schon benutzt hast - $\begin{eqnarray*} \langle\ldots\rangle \end{eqnarray*}$
Bist du hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} dim(W) = dim (Bild (\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix})) = 1 \end{eqnarray*}$

absichtlich vom ursprünglich angegebenen W abgewichen?
$\begin{eqnarray*} \dim (U)=\dim(W)=1 \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Bild(W \cap U ) = Bild(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -4\\ 1 & 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}) = \left \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle \end{eqnarray*}$

ist falsch. Da habe ich gestern nicht aufgepasst Ups

Richtig ist
$\begin{eqnarray*} Bild(W + U ) = Bild(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}) = \left \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle \end{eqnarray*}$
aber auch
$\begin{eqnarray*} Bild(W + U ) = Bild(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -4\\ 1 & 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}) = \left \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle \end{eqnarray*}$ ist richtig.

06.03.2015, 18:48

IfindU

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Was ist denn das Bild einer Summe von Untervektorräumen?

06.03.2015, 18:56

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Kurz gesagt: Völliger Unsinn Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} W + U = Bild(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}) = \left \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle \end{eqnarray*}$
Mal sehen, was ich jetzt vergeigt habe.
@IfindU: Danke

07.03.2015, 15:38

idur2

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Sorry, ich habe mich bei dim(W) verschrieben.

Danke fuer den Tipp mit der Schreibweise!

Aber jetzt bin ich durcheinander - ueber wolframalpha bekomme ich -
$\begin{eqnarray*} U \cap W = kern(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -4 \\ 1 & 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}) =\left \{ \begin{pmatrix} 4x+3y-2z \\ z \\ x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb R^{4} | z,x,y \in \mathbb R\right \} \end{eqnarray*}$
- und das ist doch auch eigentlich die Schnittmenge der beiden Untervektorraume.

Ich weiss leider immer noch nicht was nun $\begin{eqnarray*} dim( U \cap W) \end{eqnarray*}$ ist, gilt jetzt
$\begin{eqnarray*} U + W = Bild(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -4 \\ 1 & 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}) = dim( U \cap W) \end{eqnarray*}$ ?

07.03.2015, 17:51

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Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} U \cap W = kern(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -4 \\ 1 & 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
ist falsch. Woher kommt diese Gleichung und die anderen, die du am Anfang des Thread benutzt hast?
Sie kann schon aufgrund folgender Überlegung nicht stimmen:
Links steht ein Untervektorraum von U und U ist eindimensional. Der Kern auf der rechten Seite ist dreidimensional.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U + W = Bild(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -4 \\ 1 & 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}) = dim( U \cap W) \end{eqnarray*}$ ?

ist auch nicht richtig. Links stehen Vektorräume, rechts eine Zahl.
Richtig ist
$\begin{eqnarray*} \dim(U + W) = \dim Bild(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -4 \\ 1 & 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du mit der Dimensionsformel $\begin{eqnarray*} dim( U \cap W) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Übrigens geht es hier viel schneller, wenn du dir klarmachst, dass
$\begin{eqnarray*} U=W = \left \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle \end{eqnarray*}$

07.03.2015, 19:19

idur

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Ich schmeisse die Begriffe wohl zu sehr durcheinander. Das die erste Gleichung gilt habe ich aus einem online video tutorial (http://www.onlinetutorium.com/product_in...roducts_id=1511) "geschlossen". Ich vermute das ich es wohl zu woertlich genommen habe. Diese Schreibweise wurde da eigentlich auch nicht verwendet, sondern nur erwaehnt das der Kern einer solchen Matrix zu ermitteln ist um den Schnitt zu bekommen.

07.03.2015, 23:13

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Schau das Video noch mal ab 9:38 an: "Das ist der Kern von A. Jetzt müssen wir verstehen was hat das denn mit dem Schnitt [...] zu tun"

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