DF und VF mit Parametern

06.03.2015, 15:55

Rubi

DF und VF mit Parametern

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche gerade die folgende Aufgabe zu lösen:

Es sei X sie zufällige Übertragungsdauer einer Nachricht. Man nimmt an, dass X eine stetge ZG ist, deren Dichte die Gestalt

$\begin{eqnarray*} f(x)= ax + 0,125 für 0 \leq x \leq 4 und 0 sonst \end{eqnarray*}$

besitzt (x in Sec. und a > 0 )

(a) Berechne a.
(b) Wie groß ist die WK, dass die Übertragung länger al 3 Sekunden dauert?

Meine Ideen:
zu (a) Hier muss gelten

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+\infty} \! f(x) \, dx = 1 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4} \! f(x) \, dx = 1 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4} \! ax+0,125 \, dx = 1 \end{eqnarray*}$

dann ziehe ich das a vor das Integral und integriere ganz normal, nach Adam Riese sollte a = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$ rauskommen.

also ist DF: $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x}{16} + 0,125 für 0 \leq x \leq 4 und 0 sonst \end{eqnarray*}$

und VF ist: $\begin{eqnarray*} F(x)= 0 für x < 0 , \frac{x^{2}}{32}+ \frac{x}{8} für 0 \leq x \leq 4 und 1 für x > 4 \end{eqnarray*}$

normalerweise gibts doch noch ne Integrationskonstante, kriege ich die mit F(4) - F(0) ?

zu (b) Hier muss ich das hier berechnen P(x > 3) = 1- P(x \leq 3) = 1-(F(3)- \lim_{t \to \infty} F(3)) = 1- 0,6562 = 0,3438

Ist das richtig so?

06.03.2015, 16:02

Rubi

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Na toll, irgendwie funktioniert die blöde "Vorschau" nicht :-/

die DF aus der Ausgangssituation lautet

$\begin{eqnarray*} f(x) = a*x + 0,125 für 0 \leq x \leq 4 und 0 sonst \end{eqnarray*}$

und dann später mit dem "a" :

DF: $\begin{eqnarray*} f(x) = x/16 + 0,125 für 0 \leq x \leq 4 und 0 sonst \end{eqnarray*}$

VF: $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 für x < 0 , x ^2/32 + x/8 für 0 \leq x \leq 4 und 1 für x > 4 \end{eqnarray*}$

06.03.2015, 16:07

Rubi

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ok das hat kein Sinn, verstehe nicht, warum es nicht funktioniert -.-

f(x)= a*x + 0,125 für 0 < = x <= 4 und 0 sonst

a = 1/16

und dann ist

DF: f(x)= x/16 + 0,125 für 0 < = x <= 4 und 0 sonst

und VF: F(x)= 0 für x < 0 , x^2 /32 + x/8 für 0 < = x <= 4 und 1 für x > 4

06.03.2015, 20:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rubi
normalerweise gibts doch noch ne Integrationskonstante, kriege ich die mit F(4) - F(0) ?

Na eher über den "stetigen Anschluss bei 0", d.h. für

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x^2}{32}+\frac{x}{8}+C \end{eqnarray*}$

muss $\begin{eqnarray*} F(0)=0 \end{eqnarray*}$ gelten, was dann zu $\begin{eqnarray*} C=0 \end{eqnarray*}$ führt.

P.S.: Die Vorschau funktioniert an sich ausgezeichnet. Du darfst nur keinen Text (erst recht keinen mit Umlauten) einfach so in der Formelumgebung platzieren.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} ax+0.125 &\;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 4 \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

06.03.2015, 21:48

Rubi

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Hallo Hal,

achsooo -.- ja dann lag es wohl an dem Text ... danke :-)

ok also dass bezüglich der Integrationskonstante, wo du meitest "stetiger Anschluss bei 0", hab ich nun folgendermaßen verstanden...

Es muss ja für die VF gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} F(x)= 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} F(x)= 0 \end{eqnarray*}$

aber in meinem Fall reicht es F(0)= 0 zu betrachten, ist das richtig so?

und meine VF ist dann:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 \mbox{für}\; x < 0 \\\frac{x^2}{32}+\frac{x}{8} &\;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 4 \\ 0 &\;\mbox{für}\; x > 4 \end{cases} \end{eqnarray*}$

und bei (b) soll ich ja $\begin{eqnarray*} P(X > 3) = 1- P(X \leq 3) \end{eqnarray*}$ berechnen

ist dass dann auch $\begin{eqnarray*} 1-F(3) = 1-( \frac {25}{32} + \frac {5}{8}) = 1- 0,6563 = 0,3438 \end{eqnarray*}$

oder hab ich jetzt was vergessen?

07.03.2015, 09:07

HAL 9000

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Ja, im vorliegenden Fall reicht das. Wenn die Dichte wie hier stückweise gegeben ist, dann empfiehlt sich im allgemeinen Fall folgende Vorgehensweise, wie sie am Ende von diesem Thread dargestellt wird:

Dichte -> Verteilungsfunktion

Zitat:

Original von Rubi
und bei (b) soll ich ja $\begin{eqnarray*} P(X > 3) = 1- P(X \leq 3) \end{eqnarray*}$ berechnen
ist dass dann auch $\begin{eqnarray*} 1-F(3) = 1-( \frac {{\color{red}25}}{32} + \frac {{\color{red}5}}{8}) = 1- 0,6563 = 0,3438 \end{eqnarray*}$

Seltsam, was hier zwischendurch passiert ist, denn da sollte ja wohl eher $\begin{eqnarray*} 1-\left( \frac{9}{32} + \frac{3}{8}\right) \end{eqnarray*}$ stehen. Aber dein Endergebnis stimmt, also hast du letztendlich wohl doch mit den richtigen Zahlen operiert. Augenzwinkern

07.03.2015, 09:15

Rubi

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Hey danke dir! :-)

Hahahha ja :-D ich hab da wohl die 3 im Kopf gehabt aber die 5 hingeschrieben Big Laugh

Danke für den Tipp!

07.03.2015, 09:48

1nstinct

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 \mbox{für}\; x < 0 \\\frac{x^2}{32}+\frac{x}{8} &\;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 4 \\ 0 &\;\mbox{für}\; x > 4 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} F(x)=1 \end{eqnarray*}$ sein smile