[Zahlentheorie] ggT als Primfaktorenprodukt

06.03.2015, 20:15	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
[Zahlentheorie] ggT als Primfaktorenprodukt Liebes Matheboard, ich habe folgendes Problem: Folgendes soll ich zeigen, OHNE die Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung zu verwenden: Wenn $\begin{eqnarray} a = \Pi p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b = \Pi p_i^{\beta_i} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \alpha_i, \beta_i \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ und fast alle Exponenten 0 sind, dann gilt: $\begin{eqnarray} ggT(a,b) = \Pi p_i^{min\{\alpha_i,\beta_i\}} \end{eqnarray}$ Offensichtlich teilt $\begin{eqnarray} \Pi p_i^{min\{\alpha_i,\beta_i\}} \end{eqnarray}$ a und b, damit auch den ggT und die Summe von a und b. Aber ich muss noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \Pi p_i^{min\{\alpha_i,\beta_i\}} \end{eqnarray}$ vom ggT geteilt wird, bzw. größer ist. Doch wie funktioniert das? Bei meinen bisherigen Versuchen scheitere ich jeweils daran, dass ich $\begin{eqnarray} \Pi p_i^{min\{\alpha_i,\beta_i\}} \end{eqnarray}$ nicht als Linearkombination von a und b darstellen kann. Gibt es da einen Trick oder sollte man grundsätzlich anders vorgehen? Freundliche Grüße DaLoisl
06.03.2015, 20:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{align} a' := \frac{a}{\prod\limits_i p_i^{\min\{\alpha_i,\beta_i\}}} = \frac{\prod\limits_i p_i^{\alpha_i}}{\prod\limits_i p_i^{\min\{\alpha_i,\beta_i\}}} = \prod\limits_i p_i^{\alpha_i-\min\{\alpha_i,\beta_i\}} = \prod\limits_i p_i^{\max\{0,\alpha_i-\beta_i\}} \end{align}$ und analog $\begin{align} b' := \frac{b}{\prod\limits_i p_i^{\min\{\alpha_i,\beta_i\}}} = \prod\limits_i p_i^{\max\{0,\beta_i-\alpha_i\}} \end{align}$ . Für festes $\begin{align} i \end{align}$ ist nun mindestens einer der beiden Exponenten $\begin{align} \max\{0,\alpha_i-\beta_i\} \end{align}$ und $\begin{align} \max\{0,\beta_i-\alpha_i\} \end{align}$ gleich Null, es gibt also kein $\begin{align} p_i \end{align}$ , welches zugleich beide Werte $\begin{align} a' \end{align}$ und $\begin{align} b' \end{align}$ teilt. Daraus folgt die Teilerfremdheit der beiden Werte $\begin{align} a' \end{align}$ und $\begin{align} b' \end{align}$ .
07.03.2015, 10:04	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank, das hat mir sehr geholfen!

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