Integral von cos^4(x) dx

07.03.2015, 09:22

FaithNoMore

Integral von cos^4(x) dx

Meine Frage:
Hallihallo,

ich soll das Integral von $\begin{eqnarray*} \int\!cos^4(x)\,dx \end{eqnarray*}$ berechnen.

Laut meines Professoren sollen wir dies über diesen Weg machen:
Theorem $\begin{eqnarray*} cos(2x)=1-2sin^2(x)=2cos^2(x)-1\rightarrow I=\int\!\frac({1+cos(2x)}{2})^2\,dx=\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}sin(2x)+\frac{1}{32}sin(4x)+c \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich versuche nun krampfhaft auf das oben angegebene Theorem zu kommen und habe bereits versucht, indem ich $\begin{eqnarray*} cos^4(x) \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} (1-sin^2(x))^2*cos^2(x) \end{eqnarray*}$ zu ersetzen, was nicht

funktioniert hat, auch $\begin{eqnarray*} cos^4(x)=\frac{1}{8}(cos(4x)+4cos(2x)+3) \end{eqnarray*}$ macht es natürlich nicht einfacher.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich zu meinem gewünschten Theorem komme? smile

07.03.2015, 09:29

FaithNoMore

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RE: Integral von cos^4(x) dx
Tut mir leid, das Integral soll heißen
$\begin{eqnarray*} I=\int\!(\frac{1+cos(2x)}{2})^2\,dx \end{eqnarray*}$

07.03.2015, 09:31

HAL 9000

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RE: Integral von cos^4(x) dx

Zitat:

Original von FaithNoMore
auch $\begin{eqnarray*} cos^4(x)=\frac{1}{8}(cos(4x)+4cos(2x)+3) \end{eqnarray*}$ macht es natürlich nicht einfacher.

Wieso macht es das "nicht einfacher"? Dies integriert ergibt doch direkt das oben angegebene Ergebnis! Finger1

07.03.2015, 09:36

FaithNoMore

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Weil ich dann keine Rechnung habe, mit der ich zum Ergebnis komme? Augenzwinkern

Es ist gut, dass ich das Additionstheorem kenne, aber woher sollte ich die Annahme fällen, dass die Integration von cos^4(x) seinem Theorem entspricht? smile

Jedenfalls...einen Tipp vielleicht, wie ich auf das Theorem in der Musterlösung komme?

07.03.2015, 09:38

FaithNoMore

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Alles klar, ich habe den Weg gefunden.

07.03.2015, 09:43

HAL 9000

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Du musst dich natürlich bemühen, dich verständlich auszudrücken: So wie oben klingt es, als sei dir die Formel $\begin{eqnarray*} cos^4(x)=\frac{1}{8}(cos(4x)+4cos(2x)+3) \end{eqnarray*}$ klar, du aber nicht weißt, wie man von da zum Ergebnis kommt. Wenn es das Zustandekommen dieser Formel ist, was dir nicht klar ist, dann musst du das auch deutlich artikulieren.

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