Beweis Analysis

07.03.2015, 12:14	Alexander2	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Analysis Meine Frage: Hallo, kann mir jemand bitte bei folgender Aufgabenstellung weiterhelfen? Man beweise, dass für ungerade n aus der Gleichung \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} die Beziehung \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n + b^n + c^n} folgt. Danke! Meine Ideen: Induktionsbeweis mit n= 2n+1
07.03.2015, 13:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schlüssel zur Lösung ist vor allem, dass aus $\begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} \end{align}$ folgt, dass mindestens eine der drei Bedingungen $\begin{align} a=-b,\, b=-c \end{align}$ oder $\begin{align} c=-a \end{align}$ gelten muss. Und hat man das erst, dann ist die Behauptung ein Klacks (ganz ohne Induktion).
07.03.2015, 15:53	Alexander2	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie komme ich von dieser Gleichung auf diese 3 Bedingungen?
07.03.2015, 16:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, wie wohl? Nenner beseitigen durch Multiplikation der Gleichung mit $\begin{align} abc(a+b+c) \end{align}$ , und dann faktorisieren: $\begin{align} 0 = (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc = (a+b)(b+c)(c+a) \end{align}$ .
07.03.2015, 17:25	Alexander2	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar Und dann alle Fälle betrachten für $\begin{eqnarray} $ \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n + b^n + c^n} $ \end{eqnarray}$ Indem ich oben jeweils einsetze: (1) $\begin{eqnarray} a=-b \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} b=-c \end{eqnarray}$ (3) $\begin{eqnarray} c=-a \end{eqnarray}$ oder? und da n ungerade ist, fallen immer zwei weg und dann steht bei Fall (1) nur mehr $\begin{eqnarray} $ \frac{1}{c^n} = \frac{1}{0+ c^n} $ \end{eqnarray}$ q.e.d.
07.03.2015, 17:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es.
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07.03.2015, 17:33	Alexander2	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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