Konvergenz Maßtheorie

07.03.2015, 12:26	HM	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Maßtheorie Meine Frage: Hallo zusammen, ich beschäftige mich grad mit der Lösung von Aufgaben zum Thema "Konvergenzverhalten in Maßräumen". In so einer Aufgabe muss ich die Funktionenfolge f_n := max{1-nx,0}, n kommt aus der Menge der natürlichen Zahlen, auf Konvergenz nach Maß, Konvergenz fast überall und Konvergenz in Lp([0,1)), p kommt aus der Menge [1,unendlich],a wobei Lp ein Lebesgue-Raum ist. Den ersten Punkt hab ich gemacht, und zwar konvergiert f_n gegen die Nullfunktion nach Maß. Als erstes hab ich versucht, die Funktion auf Konvergenz fast überall zu untersuchen. Aber ich bin nicht vorangekommen, und habe in der Musterlösung nachgeschaut, in welche Richtung ich überhaupt gehen sollte. Einige Aspekte kann ich aber nicht verstehen, und ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir einen Tipp geben könntet Die Argumentation in der Musterlösung lautet so: "Die Funktionenfolge konvergiert gegen die Nullfunktion nach Maß. Wenn sie fast überall oder in einem Lebesgue-Raum konvergiert, dann muss die Grenzfunktion ebenfalls die Nullfunktion sein." Das verstehe ich nicht. Wie kommt man drauf? Ich hab mir nochmal das Skript angeschaut, aber keine Bemerkung und keinen Satz dazu gefunden Habt ihr vllt ne Idee? Liebe Grüße, HM Meine Ideen:* Normalerweise gilt ja die Implikation: Lebesgue-Maß ist endlich und f_n konvergiert gegen f fast überall => f_n konvergiert gegen f nach Maß, aber die Umkehrung ist i.A. falsch
07.03.2015, 12:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Maßtheorie Das ist keine Aussage über Konvergenz an sich, sondern über die Eindeutigkeit eines Grenzwertes. Selbst wenn viele Konvergenzbegriffe sich nicht implizieren, so sagen alle doch aus, dass die Folge sich im gewissen Sinne dem Grenzwert annährt. D.h. wenn es in 2 verschiedenen Sinne konvergiert, ist die Chance ziemlich gut, dass es der gleiche Grenzwert sein muss. Du könntest über Widerspruch argumentieren. Angenommen die Folge konvergiert punktweise, aber nicht gegen 0 auf einer Menge mit positivem Maß. Nimm eine kompakte Menge mit positivem Maß daraus und wirf Egorov drauf.
07.03.2015, 14:08	HM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Maßtheorie Hallo lfindU, erstmal danke für deine Antwort. Nun zun Thema: Ich verstehe schon, dass die Chance hoch ist, dass die Grenzfunktionen gleich sind, wenn eine Funktionenfolge in 2 verschiedenen Sinnen konvergiert. Aber in der Musterlösung steht, dass die Grenzfunktionen mit Sicherheit gleich sind, wenn sie existieren. Und dies verwirrt mich. LG HM
07.03.2015, 14:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Maßtheorie Dass die Chance "hoch" ist, war auf andere Konvergenzbegriffe bezogen. Punktweise und Maßkonvergenz erfüllen die Eindeutigkeitsaussage zu 100%. Der letzte Satz im letzten Post gibt auch eine Möglichkeit dies zu zeigen.
07.03.2015, 14:38	HM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Maßtheorie Okay, alles klar, danke! Ich werde nachher versuchen, die Eindeutigkeit der Grenzfunktionen mithilfe deines Ansatzes zu beweisen. Ich hätte noch eine Frage: Kann ich dann nach dem unten stehenden Schema vorgehen, wenn ich eine Funktionenfolge auf verschiedene Konvergenzarten untersuchen muss: Ich untersuche f_n auf Konvergenz nach Maß. Nachdem ich eine Grenzfunktion bestimmt habe, überprüfe ich, ob f_n in anderen Sinnen (z.B. in Lebesgue-Räumen) konvergiert, wobei ich die schon bestimmte Grenzfunktion verwende?
07.03.2015, 15:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Maßtheorie Genau. Allerdings untersucht man generell den punktweisen Grenzwert, da dieser am einfachsten zu untersuchen ist. Da fällt mir ein: Maßkonvergenz sollte punktweise Konvergenz nach Wahl einer geeigneten Teilfolge implizieren. Damit kann das auch zeigen.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »