Bestimmung eines Funktionsterm dritten Grades

07.03.2015, 18:05

brain748

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Bestimmung eines Funktionsterm dritten Grades

Meine Frage:
Bestimmen Sie den Funktionsterm dritten Grades, dessen Graph durch den Ursprung verläuft und im Punkt (1/0) einen Wendepunkt besitzt. Die zugehörige Wendetangente ist parallel zur 2. Winkelhalbierenden.

Meine Ideen:
Also mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:
Die "Rohformel": f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Da durch den Ursprung, also S(0/0) ist d=0;
dann Wendepunkt (1/0), also f''(1)=0, ist b folglich 1/2
hier bin ich mir nicht ganz sicher gewesen:
f'''(1)=0, also 1/6=a ??
Wenn das richtig ist, muss ich nur noch c ausrechnen. Nur weiß ich nicht, wie ich das machen soll, da ich den Zusammenhang mit Wendetangente und der 2. Winkelhalbierenden nicht verstehe.

07.03.2015, 18:13

Magix

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RE: Bestimmung eines Funktionsterm dritten Grades

Zitat:

Original von brain748
Die "Rohformel": f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Da durch den Ursprung, also S(0/0) ist d=0;

Das sieht schonmal nicht schlecht aus.

Zitat:

Original von brain748
dann Wendepunkt (1/0), also f''(1)=0, ist b folglich 1/2

Kannst du mir hier nochmal deine Rechnung zeigen?

07.03.2015, 18:21

brain748

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Ja klar!

smile

Also:
f''(x)=6ax+2b
f''(1)=0, daraus folgt:
Oh nein, mir ist gerade selber ein Fehler aufgefallen!
Also richtig ist:
0=6a*1+2b (habe x und y vertauscht)
0=6a+2b (ich löse mal nach a auf)
-2b=6a
(-2b)/6=a

f'''(x) ist dann demzufolge auch nicht richtig

07.03.2015, 18:36

Magix

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$\begin{eqnarray*} f'''(x)=6a \end{eqnarray*}$

Doch wofür brauchst du die dritte Ableitung?

07.03.2015, 18:43

brain748

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Das funktioniert auch mit der 3. Ableitung nicht
weil dann habe ich ja:
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=6a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=6a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=a \end{eqnarray*}$

07.03.2015, 18:49

Magix

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Zitat:

Original von brain748
$\begin{eqnarray*} f'''(1)=0 \end{eqnarray*}$

Das hab ich noch nicht verstanden. Vielleicht sollten wir nochmal nach anderen Informationen im Aufgabentext suchen.

$\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f''(1)=0 \end{eqnarray*}$ hast du schon.

Zitat:

Original von brain748
... im Punkt (1/0) einen Wendepunkt besitzt...

Hier ist noch eine weitere Information drin und

Zitat:

Original von brain748
Die zugehörige Wendetangente ist parallel zur 2. Winkelhalbierenden.

Hier auchnochmal eine.

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08.03.2015, 11:32

brain748

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Ja, und darin liegt mein Problem..
Ich weiß nicht ganz wie ich diese Informationen verarbeiten soll.

Zitat:

Die zugehörige Wendetangente ist parallel zur 2. Winkelhalbierenden.

Die zweite Winkelhalbierende sieht ja so aus:

und die Wendetangente ist ja dann dazu parallel durch den Punkt (1/0)
und zu

Zitat:

im Punkt (1/0) einen Wendepunkt besitzt

habe ich keine Idee

08.03.2015, 11:40

Magix

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Kein Problem, das kriegen wir hin. Fangen wir doch mal mit dem zweiteren an.

Wenn f im Punkt (1/0) einen Wendepunkt besitzt, dann ist der Punkt (1/0) Teil des Graphen von f.

Hilft das?

08.03.2015, 11:45

brain748

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Achso, klar!
Dann ist ja $\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$ , richtig?
Also:
$\begin{eqnarray*} 0=a*1^3+b*1^2+c*1 \end{eqnarray*}$

08.03.2015, 12:05

Magix

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Genau! So, zur letzten Information. Die Wendetangente, also die Tangente am Wendepunkt (1/0), ist eindeutig. Sie geht durch den Punkt (1/0) und sie ist parallel zur zweiten Winkelhalbierenden. Die Steigung von f im Punkt (1/0) ist gleich der Steigung der Tangente.

08.03.2015, 12:15

brain748

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Also ist die Steigung=1, aber was mache ich dann damit?

08.03.2015, 12:18

Magix

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Zitat:

Original von brain748
Also ist die Steigung=1, aber was mache ich dann damit?

Überleg dir die Steigung nochmal.

Und dann überleg dir was ich damit meinte:

Zitat:

Original von Magix
Die Steigung von f im Punkt (1/0) ist gleich der Steigung der Tangente.

08.03.2015, 12:29

brain748

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Ach nein, -1 ist die Steigung
und dann ist ja $\begin{eqnarray*} f'(1)=-1 \end{eqnarray*}$ , weil die Ableitung die Steigung der Tangente im Punkt 1 angibt?

08.03.2015, 12:38

Magix

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Ganz genau, wenn wir also alles nochmal sammeln, dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} f(0)=0<br /> f(1)=0<br /> f'(1)=-1<br /> f''(1)=0 \end{eqnarray*}$

Dann erhalten wir ein Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} d=0<br /> a+b+c=0<br /> 3a+2b+c=-1<br /> 6a+2b=0 \end{eqnarray*}$

Dieses System sollte eindeutig lösbar sein.

08.03.2015, 13:37

brain748

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Ich habe das mithilfe des Gauß-Algorithmus aufgelöst und bekomme da heraus:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-3*x^2+2*x \end{eqnarray*}$ smile

smile

08.03.2015, 13:40

Magix

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Hab ich auch Freude

Freude

08.03.2015, 13:51

brain748

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Dann vielen Dank! Du hast mir echt geholfen Freude

Freude

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