Integration durch Partialbruchzerlegung

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TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Partialbruchzerlegung
Meine Frage:
Hallihallo,

ich bin noch relativ ungeübt im Umgang mit Integration durch Partialbruchzerlegung (darum Entschuldigung, sollte die Aufgabe hier wirklich einfach sein und ich sie trotz allem nicht lösen können smile ). Ich habe folgende Aufgabe:





Meine Ideen:
Für die Nullstelle habe ich durch Substitution x=-1 gefunden. Weitere Nullstellen existieren nicht...mir ist aber aufgefallen, dass ich die wahrscheinlich sowieso nicht hätte berechnen müssen, da ich die Funktion 4. Grades ja auch über die einfach quadratische Ergänzung hätte zerlegen können. Hammer

Wie dem auch sei, es heißt also


Dann der Koeffizientenvergleich:

A=2
B=1
A+C=2 C=0
B+D=2 D=1

Jetzt scheitere ich allerdings an der Integration! unglücklich
Ich weiß leider nicht welchem Koeffizient ich welchem Integral zuordnen soll und wie die Integration erfolgen soll. Ich hoffe, jemand weiß, was ich meine (ich weiß, dass ich nicht der Weltmeister des Erklärens bin Augenzwinkern ).
Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

Zitat:
Für die Nullstelle habe ich durch Substitution x=-1 gefunden


Der Nenner hat doch garkeine Nullstellen verwirrt Wenn du -1 einsetzt kommt 4 raus. Das sieht man schon daran, dass nur gerade Exponenten auftreten und das Absolutglied größer als 0 ist.
Du hast den Nenner dennoch richtig faktorisiert und auch die Partialbruchzerlegung richtig durchgeführt.

Zitat:
Ich weiß leider nicht welchem Koeffizient ich welchem Integral zuordnen soll


Die Partialbruchzerlegung liefert doch zunächst erstmal nichts weiter als



Du musst einfach nur hier
so einsetzen, wie ausgerechnet.

Damit hast du jetzt dein Integral vereinfacht zu

. Diese Integrale kannst du nun getrennt berechnen. Das erste Integral könntest du dabei nochmal aufspalten. Dann solltest du eigentlich sehen, was zu tun ist. Beim zweiten hilft die Substituion . (Das sieht man mit Erfahrung)
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Also um mich erst einmal um das Integral zu kümmern...ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich hierbei anfangen soll.
? unglücklich
Ich scheine es nicht ganz begriffen zu haben, denn das hier sieht auf den ersten Blick ziemlich kompliziert aus.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, da sollte auch eigentlich ein , nicht stehen Augenzwinkern . Dann gilt bekanntlich (wie sich leicht nachrechnen lässt)
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich das richtig, dass es dann bedeuten würde
?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn im Nenner steht nicht , sondern etwas anderes.
 
 
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Ach! Entschuldigung, das war ziemlich fahrlässig behandelt gerade. Ich habe die Klammer einfach übersehen.
Bedeutet das, ich habe ?
Oder hätte ich dann die binomische Formel missachtet? Und wäre ja integriert ... also dann doch über die binomische Formel? Entschuldige, aber die zündende Idee bleibt aus...
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast dann .
Das hast du auch richtig integriert. Freude

Edit: Bis auf ein Vertauschen von und .
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheLastOfUs
Also um mich erst einmal um das Integral zu kümmern...ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich hierbei anfangen soll.


Ich gebe mal hier noch einen kleinen Tipp ab.



Das erste Integral ist ja bekannt, das zweite kann man mit partieller Integration gut lösen. Es ist

und
und

Vorzeichen noch beachten.
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Ach wieder das u und das x. LOL Hammer
Okay, es würde also lauten


Okay, und jetzt kann ich zwar nicht sagen, warum es so ist, aber ich habe gerade die Beziehung von sin(arctan(x)) nachgeschaut und es entspricht wohl ... und
Lösung wäre also

Okay...das sieht ja immerhin meiner Musterlösung schon annähernd ähnlich. Freude

Fehlen noch die 1,5 vorm arctan(x) und die Integration des zweiten Integrals.
Ich melde mich zurück, sobald ich eine Lösung habe. smile Gott
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Melde dich bitte auch in deinem anderen Thread !

mY+
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein Wörtchen, wie man zu den beiden Identitäten kommt:

Es gilt

. Jetzt kannst du wieder die Identität von oben benutzen. Zum Sinus kommt man dann mit

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Weg von outSchool via partielle Integration sieht für höhere Potenzen so aus .
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Partialbruchzerlegung
Vielen Dank, das Problem ist gelöst! Gott smile
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