Kräftezerlegung

08.03.2015, 21:31

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Kräftezerlegung

Abend Forum.

aufgrund nahender prüfung befinde ich mich gerade in der vorbereitung darauf. bislang klappt auch alles, allerdings komm ich bei einer aufgabe nicht weiter. wäre super wenn mir jemand helfen könnte.

die aufgabe lautet wie folgt:

An einer Platte sind drei Stäbe an den Punkten A, B und C (siehe Abbildung) angebracht, die im Punkt S zusammenlaufen.
Dort wirkt eine Kraft F nach unten (z-Richtung).
Wo muss der untere Stab an der z-Achse befestigt werden,damit auf diesen Stab das $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ -fache der Kraft F wirkt?

die punkte abgelesen:
A(0 | -1 | 3)
B(0 | 1 | 3)
C(0 | 0 | z)
S(4 | 0 | 3)

mein ansatz:
$\begin{eqnarray*} \vec{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \vec{SA} = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{SB} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{SC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ z-3 \end{pmatrix} \vec{F} = \lambda_1 \frac{\vec{SA} }{|\vec{SA}| } + \lambda_2 \frac{\vec{SB} }{|\vec{SB}| } + \sqrt{5} \frac{\vec{SC} }{|\vec{SC}| } \end{eqnarray*}$

allerdings stimmt da irgendetwas vorne und hinten nicht. wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen passenden lösungsansatz aufzeigen könnte. schönen abend noch!

08.03.2015, 21:50

Bürgi

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RE: Kräftezerlegung
Guten Abend,

aus der vektoriellen Schreibweise ergibt sich aus der 3. Komponente eine Gleichung in z. Die Kräfte $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SB} \end{eqnarray*}$ haben die 3. Komponente null.

08.03.2015, 21:53

riwe

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RE: Kräftezerlegung
wenn du den letzten Summanden noch mit F multiplizierst, stimmt alles, denke ich

aus der z - Komponente bestimmt du dann auch die z-Koordinate Augenzwinkern

08.03.2015, 22:03

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RE: Kräftezerlegung

Zitat:

Original von riwe
wenn du den letzten Summanden noch mit F multiplizierst, stimmt alles, denke ich

aus der z - Komponente bestimmt du dann auch die z-Koordinate Augenzwinkern

Habe die Multiplikation mit F vergessen, man merkt: es ist spät. Big Laugh

Werde es morgen damit probieren. Danke euch!

09.03.2015, 17:09

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hab's mal durchgerechnet, kommt das hin?

$\begin{eqnarray*} |\vec{SC}| = \sqrt{4^2 + (z-3)^2} |\vec{SC}| = \sqrt{z^2 -6z +25} z-Komponente: \frac{\sqrt{5}(z-3)}{\sqrt{z^2 -6z +25} } = 1 5(z^2 - 6z + 9) = z^2 - 6z + 25 4z^2 - 24z + 20 = 0 z_{1/2} = 3\pm 2 \end{eqnarray*}$

09.03.2015, 17:46

Bürgi

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Guten Tag,

ja:

[attach]37425[/attach]

so sieht das aus.

Die rot gezeichnete Kraft zieht nach oben, die orange gezeichnete Kraft drückt nach oben.

09.03.2015, 21:39

Bürgi

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Guten Abend,

noch ein Nachtrag:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{5}(z-3)}{\sqrt{z^2 -6z +25} } = 1 \end{eqnarray*}$

stellt die Situation dar, wenn die gesuchte Kraft nach oben zieht. Die einzige richtige Lösung ist z = 5 (Nachweis über Vorzeichenuntersuchung)

Durch Umkehrung der Wirkungsrichtung der gesuchten Kraft - Druck nach oben - erhält man:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{5}(3-z)}{\sqrt{z^2 -6z +25} } = 1 \end{eqnarray*}$

Hier ist die einzige richtige Lösung z = 1

... und noch eine Bemerkung: Sollte der Kraftvektor nicht so heißen: $\begin{eqnarray*} \vec{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ denn schließlich soll die Kraft $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ ja nach unten zeigen.

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