Beweis Gruppe

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python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Gruppe
Meine Frage:
Hallo!
Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie:
Sei eine Menge und sei eine Verknüpfung mit den folgenden Eigenschaften:




Dann ist eine Gruppe.

Meine Ideen:
Die Assoziativität folgt ja direkt aus der ersten Eigenschaft.
Probleme bereitet mir das neutrale Element.
Meine Ideen dazu:
Die zweite und dritte Eigenschaft gilt ja für alle , also auch insbesondere für . Damit folgt, dass es für ein beliebiges Element gilt:
.
Wie kann ich nun aber zeigen, dass und vor allem, dass dieses dann für alle Elemente der Menge das gleiche und somit neutrales Element ist?

Wenn dies gezeigt wäre, dann würde das inverse Element trivialerweise aus Eigenschaft zwei und drei folgen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Beweisskizze:
Nach Voraussetzung sind Links- und Rechtsmultiplikation surjektiv. Also umkehrbar, weil Selbstabbildung. Also bijektiv, injektiv. Es folgen die Kürzungsregeln. Also ist G eine Gruppe.

Anmerkungen:
Bekanntlich ist eine endliche Halbgruppe mit Kürzungsregeln eine Gruppe. Das liegt daran, dass die Kürzungsregeln die Injektivität der Links- und Rechtsmultiplikation implizieren. Eine injektive Abbildung ist aber nur für endliche Mengen notwendig surjektiv.
Die in der Aufgabe vorausgesetzte Lösbarkeit von Gleichungen ist also stärker als die Kürzungsregeln, denn die Lösbarkeit von Gleichungen macht jede Halbgruppe zur Gruppe, die Kürzungsregeln machen jede endliche Halbgruppe zur Gruppe.

Details siehe z.B. Satz 1.18 hier: http://www.math.uni-leipzig.de/~tobisch/.../Skript_Alg.pdf
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Mein "Beweis" funktioniert nicht für unendliche Halbgruppen. Meine Intuition besteht darauf, dass der Satz richtig ist. Ich finde kein Gegenbeispiel, aber auch keinen Beweis. Was tun ... ? unglücklich
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe nun die Lösung gefunden:
lt. meiner Idee im ersten Beitrag gilt:
Jedes Element hat also laut Voraussetzung sein eigenes, "privates Neutrales". Nun ist zu zeigen, dass diese privaten Neutralen für alles Elemente gleich sind.
Es gilt lt. 2. und 3. Voraussetzung:
und .
und sind also auch links- bzw. rechtsneutral zu einem beliebigen Element und wegen der Eindeutigkeit des neutralen Elements gilt .
smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, jetzt kann ich wieder ruhig schlafen. Freude

Unter Benutzung der Assoziativität kann man es noch etwas deutlicher schreiben, und in der zweiten Gleichung hast Du einen kleinen Fehler. Trotzdem gebührt Dir ein dickes Lob.

und
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