Vervollständigung von Massräumen

09.03.2015, 00:34

telli

Vervollständigung von Massräumen

Hallo nochmals,

Die sigma Algebra für ein vollständiger Massraum ist in Forster definiert als:
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}^* = \{ A \cup S | A \in \mathfrak{A}, S \subset \Omega, \mu^*(S) = 0 \} \end{eqnarray*}$

Ich möchte zeigen, dass diese Menge eben eine sigma Algebra ist, aber komme an einem Punkt nicht mehr weiter:
$\begin{eqnarray*} (A \cup S)^c \end{eqnarray*}$ soll in der selben Menge liegen. Es ist ja $\begin{eqnarray*} (A \cup S)^c = A^c \cap S^c \end{eqnarray*}$
Ich weiss, dass $\begin{eqnarray*} A^c \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S^c \subset \Omega \end{eqnarray*}$
Aber wie zeige ich jetzt, dass $\begin{eqnarray*} A^c \cap S^c \in \mathfrak{A}^* \end{eqnarray*}$ ?

09.03.2015, 11:32

telli

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Hat keiner eine Idee?

Ich weiss nicht ob man Aussagen über $\begin{eqnarray*} S^c \end{eqnarray*}$ machen kann, ob diese Nullmengen bzw. keine sind.
Ich habe mir sowas überlegt aber weiss nicht ob das jetzt weiterhilft:

Wenn $\begin{eqnarray*} A \cup S \in \mathfrak{A}^* \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} A^c \cup S \in \mathfrak{A}^* \end{eqnarray*}$
Es ist aber: $\begin{eqnarray*} A^c \cup S = (\Omega \backslash A) \cup S = \Omega \backslash (A\backslash S) = (\Omega \backslash A) \cup (\Omega \cap S) \end{eqnarray*}$

09.03.2015, 12:11

Captain Kirk

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Hallo,

ich hab keinen Forster 3 zur Hand, vermutlich die meisten nicht.
Ich verstehe nicht wirklich was du hier machst.
Willst du einen Maßraum vervollständigen, d.h. $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak A , \mu ^*) \end{eqnarray*}$ ist ein Maßraum? Oder ist $\begin{eqnarray*} \mu ^* \end{eqnarray*}$ ein äußeres Maß? Oder noch was anderes?

09.03.2015, 15:21

telli

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Zitat:

ich hab keinen Forster 3 zur Hand, vermutlich die meisten nicht.

Das ist auch nicht nötig. Da wird das nun mal so definiert.

Zitat:

Ich verstehe nicht wirklich was du hier machst.

Ich möchte zeigen, dass die angegebene Menge $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}^* \end{eqnarray*}$ eine sigma Algebra ist. Dabei ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ eine sigma Algebra und $\begin{eqnarray*} \mu ^* \end{eqnarray*}$ das dazugehörige äussere Mass.

Ich konnte alles zeigen, bis auf Abgeschlossenheit gegenüber Komplementbildung.

09.03.2015, 15:31

Captain Kirk

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Zitat:

Das ist auch nicht nötig. Da wird das nun mal so definiert.

Ja, aber dann ist auch der komplette Kontext notwendig. Ansonsten ist das Buch notwendig.
Und du hattest nicht erwähnt was $\begin{eqnarray*} \mu^* \end{eqnarray*}$ ist.
Ich versteh es nach wie vor nicht, denn was ist denn das zu einer Sigma-Algebra zugehörige äußere Maß?

Zitat:

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ eine sigma Algebra und $\begin{eqnarray*} \mu ^* \end{eqnarray*}$ das dazugehörige äussere Mass.

.
Auf jeder Sigma-Algebra A ist z.B. ein äußeres Maß gegeben durch $\begin{eqnarray*} \mu (\Omega)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu (S)=0 \end{eqnarray*}$ für alle anderen Elemente von A. Wie wärs damit als zugehörigem äußerem Maß?

Lass mich raten

09.03.2015, 15:50

telli

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Für ein gegebenes Mengensystem kann man doch sagen, ob es auf einer Grundmenge = Omega eine sigma Algebra ist oder nicht. Die zusätzlichen Angaben sind nur Kosmetik (für mich jedenfalls). Es geht eigentlich nur darum zu bestimmen ob dieses Mengensystem eine sigma Algebra ist oder nicht.

Zitat:

Ich versteh es nach wie vor nicht, denn was ist denn das zu einer Sigma-Algebra zugehörige äußere Maß?

$\begin{eqnarray*} \mu^* : P(\Omega) \rightarrow \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu^*(Nullmenge) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\Omega) \end{eqnarray*}$ ist die Potenzmenge von Omega.

09.03.2015, 15:59

Captain Kirk

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Zitat:

Die Definition deines Mengensystems hängt massiv davon ab, was $\begin{eqnarray*} \mu^* \end{eqnarray*}$ ist.
Daher ist die Frage was dieses Objekt ist alles andere als Kosmetik sondern absolut zentral für das was du machen willst.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mu^* : P(\Omega) \rightarrow \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu^*(Nullmenge) = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist keine Abbildung. Du definierst nur einen Wert.
Außerdem sprachst du von einem zu einer Sigma-Algebra gehörenden äußeren Maß. In dem was du hier schreibst hast du aber eine sehr spezielle Sigma-Algebra.

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