[Übersetzungsfrage] komplement eines Vektorraumes

09.03.2015, 10:30

Shalec

[Übersetzungsfrage] komplement eines Vektorraumes

Hallo allerseits,

ich arbeite derzeit diesen Text durch:
http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.to...tion-theory.pdf

Auf Seite 6 im Beweis zum Satz 1 wird "arbitrary complement" geschrieben. Soweit ich das nun übersetzen kann, heißt dies "beliebiges Komplement". Die Definition eines Komplementes heißt ja wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ ein Komplement zu $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} W\cap W'=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall v\in V\exists! w\in W, w'\in W' \end{eqnarray*}$ s.d. $\begin{eqnarray*} v = w + w' \end{eqnarray*}$ (oder anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} V=W\oplus W' \end{eqnarray*}$ direkte Summe)

Da $\begin{eqnarray*} W,W'\subseteq V \end{eqnarray*}$ gilt und jedes Element aus V eindeutig als Summe von Elementen aus W und W' geschrieben werden kann, müssen alle Elemente von V auf W und W' aufgeteilt sein (einfach ausgedrückt). Da diese im Schnitt nur das neutrale Element besitzen, existiert keine doppelte Aufteilung. Folglich ist $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ das Komplement von W und nicht ein Komplement. Damit macht die Bedeutung von "beliebig" keinen Sinn.

Oder wird damit gemeint, dass W eine beliebige Teilmenge von V sein soll?

Viele Grüße

09.03.2015, 11:32

Elvis

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Ein beliebiges Komplement ist richtig. Zum Beispiel sei die x-Achse der Unterraum $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , dann ist jede davon verschiedene Gerade durch den Nullpunkt ein Komplement $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ .

09.03.2015, 12:00

Shalec

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Zitat:

Original von Elvis
Ein beliebiges Komplement ist richtig. Zum Beispiel sei die x-Achse der Unterraum $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , dann ist jede davon verschiedene Gerade durch den Nullpunkt ein Komplement $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ .

Lässt sich dann jedes Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ eindeutig zerlegen?

Angenommen ich nehme nun die x-Achse (y=0) als W und W' ist z.B. die Gerade, die durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ gegeben ist, als Komplement. Dann kann ich damit den Punkt (2 / 0.5) doch nicht darstellen? Oder Habe ich da was grundlegendes nicht richtig verstanden?

Ah.. doch, das geht: w= (1.5 / 0) und w' = (0.5 / 0.5) ... ok, dann macht das ja doch Sinn mit beliebig. Vielen Dank. (Ich hatte die Definition immer irgendwie 1-dimensional überlegt.. eine Menge, beliebige Elemente.. Komplement von W = V\W..)

09.03.2015, 12:57

Elvis

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Dieses Mengenkomplement $\begin{eqnarray*} \overline A=M\backslash A \end{eqnarray*}$ einer Teilmenge $\begin{eqnarray*} A\subset M \end{eqnarray*}$ einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich etwas ganz anderes als ein Komplement eines Untervektorraums in einem Vektorraum.
Die Summe $\begin{eqnarray*} U+W \end{eqnarray*}$ zweier Untervektorräume $\begin{eqnarray*} U,W\le V \end{eqnarray*}$ eines Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} U+W=\{u+w:u\in U,w\in W\} \end{eqnarray*}$
ist der kleinste Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ,der $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ enthält, also $\begin{eqnarray*} U+W=\bigcap_{U,W\le X\le V} X \end{eqnarray*}$ ,
und er wird erzeugt von Basen von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ,d.h. $\begin{eqnarray*} U+W=<B_U\cup B_W> \end{eqnarray*}$ . Seine Dimension ist $\begin{eqnarray*} dim(U+W)=dim U+dim W-dim(U\cap W) \end{eqnarray*}$ .

09.03.2015, 13:25

Shalec

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Ich erinnere mich so langsam wieder daran.

Ich habe nun noch eine Übersetzungsfrage: Auf der selben Seite im Beweis steht "...of the conjugates of p by elements of G."
p ist eine Projektion von V in W. Was bedeutet nun "conjugates of p"? Nach einer sehr langen Suche über google bin ich irgendwann zur Adjungierten Matrix gekommen, welche aber als "conjugate transpose" beschrieben ist. (Wiki-en zu de übersetzt)

Es geht nämlich um die Formel: (mit Ordnung von $\begin{eqnarray*} G = g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p^0 = \frac{1}{g}\sum\limits_{t\in G} \rho_t\cdot p\cdot\rho_t^{-1} \end{eqnarray*}$
Ich wollte gerne nachvollziehen, woher die Formel kommt. Laut Text ist der der Durchschnitt.. "the average of conjugates of p".

Ich sollte vlt. einen Zusatz erbringen: mein letzter Kurs der irgendwas mit Algebra zu tun hatte ist 4 Jahre her. Dort wurde die Gruppentheorie vertieft. Ringe und Körper sowie Körpererweiterungen sind mir, von der Vorlesungslage meiner Uni her, fremd bzw. als unbekannt vorauszusetzen. Vektorräume waren Bestandteil der linearen Algebra 1 und 2, welches nun 5 Jahre zurück liegt.
Seither habe ich mich nur mit Themen der Analysis, Psychologie, Informatik und Kryptologie beschäftigt. (zur Krypto/Zahlentheorie gibt es natürlich genug Algebra als Basis, diese bin ich mittelfristig dabei mir anzueignen.)
Nur um eine Einschätzung meines Wissensstandes zu vermitteln.

Edit-Note:\\
In der Formel zu $\begin{eqnarray*} p^0 \end{eqnarray*}$ den ersten Faktor der Summe von $\begin{eqnarray*} \rho_r \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \rho_t \end{eqnarray*}$ gewandelt. (Wie Elvis angemerkt hat)

09.03.2015, 14:36

Elvis

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Sind $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ Gruppenelemente, so heißt $\begin{eqnarray*} a^b:=bab^{-1} \end{eqnarray*}$ konjugiert zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . (Für eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \le G \end{eqnarray*}$ und Elemente $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ erhält man so durch $\begin{eqnarray*} U^g \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ konjugierte Untergruppen. Siehe auch Gruppenautomorphismen, innere Automorphismen, etc.). In deiner Summe muss $\begin{eqnarray*} \rho_t \end{eqnarray*}$ stehen .

09.03.2015, 15:42

Shalec

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Zitat:

Original von Elvis
Sind $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ Gruppenelemente, so heißt $\begin{eqnarray*} a^b:=bab^{-1} \end{eqnarray*}$ konjugiert zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . (Für eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \le G \end{eqnarray*}$ und Elemente $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ erhält man so durch $\begin{eqnarray*} U^g \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ konjugierte Untergruppen. Siehe auch Gruppenautomorphismen, innere Automorphismen, etc.). In deiner Summe muss $\begin{eqnarray*} \rho_t \end{eqnarray*}$ stehen .

oh man..vielen Dank! Das hilft mir ungemein weiter, um den Beweis zu verstehen!

Viele Grüße und vielen Dank für die Hilfe :-)

Zitat:

In deiner Summe muss $\begin{eqnarray*} \rho_t \end{eqnarray*}$ stehen .

Ja..Tippfehler unglücklich

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