Homöomorphie euklidischer Räume

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphie euklidischer Räume
Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne ein paar Wahr/Falsch Fragen zu euklidischen Räumen sprechen bzw. topologische Räume mit euklidischer Topologie eben. Also

1) Sind die Räume und homöomorph.

Ehrlich gesagt weiß ich hier schon nicht, was ich mir unter dem Produkt vorstellen soll. Ist denn ???

Oder soll ich es eher so verstehen: ??

Wenn sich die Frage geklärt hat, dann kann ich vielleicht eine entsprechende Invariante finden und begründen, warum die Räume nicht homoömorph sind, das wäre nämlich meine naive Vermutung.

Meine Ideen:
Vielen Dank schon mal für die Hilfe
leoclid Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Zweite Vermutung ist richtig!!


R X R^3 = { (x,y) x element R , y element R^3 }
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie fehlt mit der Ansatz um hier weiter zu kommen. Hast du mir einen Tipp?

Also ich weiß, dass die Dimension invariant ist. Das heißt ist nur für möglich..
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

wenn dir das bekannt ist, dann zeige doch einfach, dass indem du einen geeigneten Homöomorphismus einfach angibst.

Aus der Transitivität der Homöomorphierelation folgt dann deine Behauptung.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Idee, versuche ich morgen gleich mal.. Freude
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

etwa so?





Und Umkehrabbildung



Falls es stimmt habe ich also gezeigt, dass gilt.

Es gilt also und

Angenommen es gelte

Dann würde wegen der Transitivität der Homöomorphie auch gelten, was wegen der Invarianz der Dimension falsch ist.

Also liegt keine Homöomorphie vor. Stimmt das so?

Interessant wäre vielleicht noch die Frage, ob die beiden homotopie äquivalent sind.

Es gilt ja für alle

Ich habe ja jetzt

Damit müssten die beiden auch homotopie äquivalent sein, also

Um keine Verwirrung zu stiften:
Homöomorphie:
und Homotopie:
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beweis ist so in Ordnung. Die Bijektivität der Abbildung ist klar. Weiviel du zur Stetigkeit sagen musst, weiß ich nicht, das kannst du wohl besser einschätzen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar Danke.. Zur Stetigkeit fällt mir dann schon was ein Big Laugh
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