Riemann-/Lebesgue-Integral |
| 09.03.2015, 12:25 | HM | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Riemann-/Lebesgue-Integral Hallo zusammen 
Ich habe ein paar Fragen bzgl. des Themas "Riemann- und Lebesgue-Integrale". Meine erste Frage ist: Wann kann man die beiden Integrale umtauschen? Ich weiß ja, dass es dafür bestimmte Sätze gibt, aber in der Musterlösung zu verschiedenen Aufgaben hab ich schon mehrmals gesehen, dass die beiden Integrale einfach umgetauscht werden, ohne dass man die Voraussetzungen für die Anwendung dieser Sätze explizit zeigt. Manchmal wird aber darauf hingewiesen, dass die Voraussetzungen erfüllt sind, weshalb es möglich ist, das Lebesgue-Integral durch das Riemann-Integral zu ersetzen oder andersrum. Diese inkonsequente Vorgehensweise verwirrt mich. Habt ihr vllt eine Erklärung? Mein zweite Frage betrifft das Lebesgue-Integral. In der Musterlösung zu einer Aufgabe, wo ein Lebesgue-Integral über einem offenen Intervall berechnet werden musste, wurde am Anfang das offene Intervall durch das kompakte Intervall mit den gleichen Grenzen ersetzt, um später das Lebesgue-Integral durch das Riemann-Integral ersetzen zu können. Meine Frage lautet nun, ob man immer das offene Intervall, über dem ein Lebesgue-Integral berechnet werden muss, durch das abgeschlossene Intervall ersetzen darf? Wenn ja/nein, wieso? Vielen Dank im Voraus
Liebe Grüße, HM Meine Ideen: Ich kenne 2 Sätze, die besagen, wann ein Lebesgue- und ein Riemann-Integral gleich sind: 1) Eine beschränkte Funktion, die ein abgeschlossenes Intervall als Definitionsbereich hat, ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge ist. In diesem Fall ist die Funktion auch Lebesgue-integrierbar, und die Werte beider Integrale sind gleich. 2) Eine auf einem beliebigen Intervall I definierte Funktion f, die über alle kompakten Teilintervalle von I Riemann-integrierbar ist, ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn |f| uneigentlich Riemann-integrierbar über I ist. Und in diesem Fall sind beide Integrale gleich. |
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| 09.03.2015, 12:34 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo,
Was meinst du damit? Ich kenn umtauschen nur vom Einkaufen. Meinst du vertauschen? (z.B. Limes und Integral) Oder wann beide Integrale übereinstimmen? (Darauf scheinen deine Ideen hinzudeuten)
Ja, der Unterschied beider Intervalle ist nur eine Nullmenge. |
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| 09.03.2015, 14:14 | HM | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, danke für deine Antwort! Ja, ich meinte übereinstimmen
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| 09.03.2015, 14:40 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
o.k.
Verschiedene Zielgruppen erfordern verschieden ausfühliche Beweise. Das selbe Argument muss man in einem Beweis, bzw. hier sinds ja eigentlich Rechnungen, auch nicht mehrfach ausführen. Ferner sind die Fälle in denen Lebesque- und Riemann-Integral verschieden sind (oder nur eines von beiden nicht existiert) eher selten, insbesondere sind es nur die jeweils "uneigentlichen" Fälle. |
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| 09.03.2015, 14:56 | HM | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, ich hab alles verstanden, danke für deine schnellen Antworten!
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