Konvergenzregeln (komplex)

09.03.2015, 14:37	balula	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzregeln (komplex) Hi, passt mein Beweis so? 1. Zeige: $\begin{eqnarray} lim (z_n) = z, lim (w_n) = w \rightarrow lim(z_n + w_n) = (z+w) \end{eqnarray}$ Beweis: Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ beliebig. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} N_1: \|z_n - z\| < \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \ge N_1 \end{eqnarray}$ (aufgrund der Voraussetzung) Außerdem gibt es ein $\begin{eqnarray} N_2: \|w_n - w\| < \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \ge N_2 \end{eqnarray}$ (ebenso). Mit $\begin{eqnarray} N := max {N_1, N_2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \ge N \end{eqnarray}$ beliebig erhalte ich $\begin{eqnarray} \|(z_n + w_n) - (z+w)\| = \|(z_n -z) + (w_n - w)\| \le \|z_n - z\| + \|w_n - w\| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon \end{eqnarray}$ Das entspricht ja der Definition + dem Beweis im reellen. Für komplexe Zahlen ändert sich formal hier aber nichts, oder doch?! 2. Zeige: $\begin{eqnarray} lim (z_n) = z, lim (w_n) = w \rightarrow lim(z_n \cdot w_n) = (z \cdot w) \end{eqnarray}$ Hier hätte ich wie in 1. begonnen und dann geschlossen: $\begin{eqnarray} z_n\cdot w_n - z\cdot w = (z_n - z)\cdot w_n + (w_n -w)\cdot z \to 0+0 = 0 < \varepsilon \end{eqnarray}$ . Grund hierfür ist, dass die Folgen $\begin{eqnarray} (z_n - z), (w_n - w) \end{eqnarray}$ Nullfolgen sind und aufgrund der Konvergenz von $\begin{eqnarray} (z_n), (w_n) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} (w_n) \end{eqnarray}$ auch beschränkt. ?
09.03.2015, 15:02	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Passt. 2) Kann man so machen, schöner ist es vielleicht, wenn du nochmal mit der Dreiecksungleichung ran gehst

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