Nullvektor nur bei Vektorräumen

09.03.2015, 14:46

goldfisch91

Nullvektor nur bei Vektorräumen

Sei T: V -> W eine lineare Abbildung, V,W Vektorräume.

Wie kann man exakt begründen, warum T(0) = 0 nur gilt, wenn V,W Vektorräume sind. Meine Idee:

Sei k = 0:

k*T(v) = k*0
T(k*v) = k*0
T(0) = 0

Wenn V, W nicht Vektorräume sind, dann gilt jedoch bei k = 0:

k*T(v) = k*0
T(k*v) = k*0
T(0) = 0

Aber 0 =/= 0

09.03.2015, 14:49

bijektion

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Was sollen $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ denn dann sein?

09.03.2015, 14:55

goldfisch91

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Also eigentlich lautet die Aufgabe: Begründen Sie exakt, warum T(0) = 0 V und W Vektorräume sein müssen.

09.03.2015, 15:29

bijektion

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Dann ist die Aufgabe aber auch schon eine andere...

09.03.2015, 15:47

goldfisch91

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Ok, tut mir leid. Ist meine Begründung richtig?

09.03.2015, 15:54

bijektion

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Mir ist noch nicht ganz klar was die Aufgabe ist, so

Zitat:

Begründen Sie exakt, warum T(0) = 0 V und W Vektorräume sein müssen.

wird sie doch wohl kaum formuliert sein.

09.03.2015, 15:56

goldfisch91

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Seien V und W Vektorräume und T eine lineare Abbildung T: V -> W

a) Sei T(0) = 0.
Begründen Sie exakt, warum bei Aussage a) V und W Vektorräume (und nicht beliebige Mengen) sein müssen.

09.03.2015, 16:08

bijektion

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Gut. Das ganze kann natürlich nur dann klappen, wenn wir eine gewisse Struktur haben, eben die eines Vektorraums.

Soll heißen, haben wir keine skalare Multiplikation, so macht der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot v \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ keinen Sinn.

Für den Beweis kannst du dir Anssehen, wie man in Vektorräumen $\begin{eqnarray*} T(0)=0 \end{eqnarray*}$ für jede lineare Abbildung zeigt. Alles was man voraussetzt, muss an Struktur verfügbar sein, wenn du also irgendwas weglässt, hast du keinen Vektorraum mehr und $\begin{eqnarray*} T(0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt nicht unbedingt.

09.03.2015, 16:16

goldfisch91

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Meine Beweisführung war also nicht richtig? Ich hab doch bewiesen, dass 0 dann kein Nullvektor ist, und somit die Gleichung nicht stimmt.

09.03.2015, 16:24

bijektion

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Nein, deinen Beweis hab ich noch nicht verstanden. Du schreibst einfach zweimal fast exakt das gleiche und erhälst daraus irgendein Resultat.

Wenn man $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ für lineare Abb. $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ zeigen will, kann man das so $\begin{eqnarray*} f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=0 \end{eqnarray*}$ machen.

Daran kann man z.B. sehen: Ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ kein VR und hat kein Additiv Inverses, so gilt die Folgerung nicht.
Ist $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ kein VR und hat kein neutrales Element der Addition, so kann man das erste Gleichheitszeichen nicht erhalten.

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