Stetigkeit der Funktion 1/ln(x+2)

09.03.2015, 16:15

ChrizZly

Stetigkeit der Funktion 1/ln(x+2)

Hallo, Folgende Aufgabe ist gegeben:
Sei $\begin{eqnarray*} f:[0,\infty [ \rightarrow\mathbb R , f(x) = \frac{1}{ln(x+2)} \end{eqnarray*}$ .

(a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist.

(b) Zeihe Sie mithilfe des Mittelwertsatzes, dass es ein $\begin{eqnarray*} L > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, welches
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq L|x-y| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in [0,\infty[ \end{eqnarray*}$
genügt.

(c) Begründen oder widerlegen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig ist.

(d) Zeigen Sie, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist und bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$

(e) Bestimmen Sie die Extremwerte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , falls diese existieren. Begründen Sie Ihre Antwort.

Hinweis: Aussagen von vorherigen Teilen dürfen benutzt werden.

Meine Ansätze sind dann:

Zu (e): Ich habe abgeleitet und dann $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{(x+2)*ln^{2}(x+2)} \end{eqnarray*}$ heraus bekommen. Kann Ich nun sagen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{irgendetwas} \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle hat? Wie formuliere ich dies mathematisch korrekt.

Zu (d): Monotonie mit der vollständigen Induktion beweisen. Wäre ja: $\begin{eqnarray*} f(x+1) \leq f(x) \Rightarrow \frac{1}{ln(x+3)} \leq \frac{1}{ln(x+2)} \end{eqnarray*}$ . ln(x) ist ja monoton steigend (darf ich davon einfach ausgehen?) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln(x+3) \geq ln(x+2) \Rightarrow \frac{1}{ln(x+3)} \leq \frac{1}{ln(x+2)} \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ habe ich gerade keine Idee

Zu (a): Vielleicht mit der Epsilon-Delta Definition? Ich bekomme aber das $\begin{eqnarray*} |x-x_{0}| \end{eqnarray*}$ nicht hin, so dass ich dieses durch das Delta ersetzen kann.
Zu (b): Leider kein Ansatz (Ich weiß gerade nicht einmal welchen Mittelwertsatz ich nutzen soll (für Differenzialrechnung?)
Zu (c): Muss ich erstmal (a) bewiesen haben. Was ich ja nicht hinbekomme.

Ich bedanke mich schonmal im Vorraus, für hilfreichende Antworten.

-ChrizZly

09.03.2015, 16:26

bijektion

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(a) Habt ihr schon gezeigt, dass mit $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f+g,f-g,f\cdot g, f\circ g \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} g\neq 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \frac{f}{g} \end{eqnarray*}$ stetig sind?
(b) Was sagt denn der MWS?
(d) Vollständige Induktion geht nur über abzählbaren Mengen. Du kannst aber einfach die Monotonie des $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ nutzen.
(e) Die Ableitung ist richtig bis auf ein Vorzeichen, die Aussage bleibt aber gleich und du kannst einfach abschätzen.

09.03.2015, 16:54

ChrizZly

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Zitat:

Original von bijektion
(a) Habt ihr schon gezeigt, dass mit $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f+g,f-g,f\cdot g, f\circ g \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} g\neq 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \frac{f}{g} \end{eqnarray*}$ stetig sind?

Anders ausgedrückt: Falls alle Teile Stetig sind, ist auch die gesamte Funktion stetig? Ja.

Könnte ich dann sagen: 1 und ln(x+2) sind stetig, also ist die Funktion stetig? (In dem angegeben Intervall, bei x=-2 gäbe es ja ein Problem)

(b)

Der MWS sagt aus: Ist die Funnktion f stetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a,b), so gibt es min. einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_{0} \in (a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x_{0} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ . Vielleicht verstehe ich den Satz nicht ganz. Aber ich sehr gerade nicht ganz, wie ich damit ein L bestimmen kann.

EDIT: Da ist ein Smiley reingerutscht. ist wieder weg ? ( (bei andtwort auf a) sollte kein Smiley sein.

09.03.2015, 17:01

bijektion

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(a) Genau, die Argumentation passt, denn $\begin{eqnarray*} \log x+2 > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Mehr brauchst du gar nicht.

(b) Genau das sagt der MWS. Jetzt kennst du aber $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ auf jedem Intervall $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq x<y<\infty \end{eqnarray*}$ .
Formulierst du etwas um, sagt der MWS, dass es ein $\begin{eqnarray*} \xi \in (x,y) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=|f'(\xi)|\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ .
Nun müssen wir eine Zahl $\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$ finden, die immer $\begin{eqnarray*} L>|f'(\xi)| \end{eqnarray*}$ erfüllt (egal auf welchem Intervall, also einfach für beliebiges $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ).
Wie können wir soetwas finden?

09.03.2015, 17:34

ChrizZly

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(b) Leider kein Ansatz. Ich habe versucht für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \end{eqnarray*}$ was aber eindeutig nicht zu Lösung geführt hat. Dann habe ich noch ein bisschen rumprobiert, jedoch nichts vielversprechendes rausbekommen..

09.03.2015, 17:37

bijektion

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Der Ansatz steht doch schon da verwirrt

Wir haben $\begin{eqnarray*} |f'(\xi)|= \frac{1}{(\xi+2)\cdot\log^2(\xi+2)}\leq \frac{1}{2\cdot\log^2(\xi+2)} \end{eqnarray*}$ , weiter abschätzen und du erhälst dein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ .

09.03.2015, 17:51

ChrizZly

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Zitat:

Dann schätze ich jetzt einfach das andere $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ab. Erhalte dann $\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{2ln^{2}(2)} \end{eqnarray*}$ Kann ich nun sagen $\begin{eqnarray*} L>\frac{1}{2ln^{2}(2)} \end{eqnarray*}$

09.03.2015, 17:54

bijektion

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Du kannst sogar $\begin{eqnarray*} L=\frac{1}{2\cdot\log^22} \end{eqnarray*}$ nehmen.

09.03.2015, 18:01

ChrizZly

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Zitat:

Original von bijektion
Du kannst sogar $\begin{eqnarray*} L=\frac{1}{2\cdot\log^22} \end{eqnarray*}$ nehmen.

Wieso geht das? Es muss ja $\begin{eqnarray*} L > f'(\xi) \end{eqnarray*}$ gelten. So gilt jedoch auch $\begin{eqnarray*} L=f'(\xi) \end{eqnarray*}$ , da ich ja nie abgeschätzt habe, so dass es absolut kleiner ist.

09.03.2015, 18:02

ChrizZly

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Und wie würde ich die gleichmäßige Stetigkeit beweisen/widerlegen?

09.03.2015, 18:03

bijektion

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Zitat:

Es muss ja $\begin{eqnarray*} L > f'(\xi) \end{eqnarray*}$ gelten.

Nein, da wir nur $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ brauchen.

Zitat:

So gilt jedoch auch $\begin{eqnarray*} L=f'(\xi) \end{eqnarray*}$ , da ich ja nie abgeschätzt habe, so dass es absolut kleiner ist.

Aber nur für einige $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ , und das darf ruhig passieren.

09.03.2015, 18:05

bijektion

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Aus Lipschitzstetigkeit folgt gleichmäßige Stetigkeit, wähle $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon}{L} \end{eqnarray*}$ .

09.03.2015, 18:06

ChrizZly

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Zitat:

Original von bijektion
Nein, da wir nur $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ brauchen.

Stimmt habe mich in der Zeile verguckt. Es muss nur gelten L>0.

09.03.2015, 18:07

ChrizZly

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Stimmt. in (b) habe ich ja die Lipschitz Stetigkeit bewiesen. Danke. Warst mir eine große Hilfe.

Gruß

09.03.2015, 18:07

bijektion

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$\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$ ist trivial falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht die Nullfunktion ist.
Gerne Wink

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