Extremwertwert berechnen

09.03.2015, 16:57

Gamtja

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Extremwertwert berechnen

Hallo,
ich bin gerade ziemlich verwirrt durch ein Beispiel, bei dem der Extrempunkt anscheinend eine Nullstelle ist.

$\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)'= \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} } = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

So kann ich nun nicht nach x umformen.

Kann mir jemand vielleicht erklären wie man dann weiter vorgeht ? gibts da vielleicht eine Regel, wie man in solchen Fällen vorgeht ?

Mein Taschenrechner kommt hier auch durcheinander.

09.03.2015, 17:09

Mi_cha

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diese Funktion besitzt keine Extremstelle

09.03.2015, 17:21

leoclid

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Richtig, die Funktion hat keine Extremstelle.

Ich glaube aber dem Fragesteller ging es eher um die Frage, was man denn bei so einer Aufgabenstellung macht.

Tatsächlich ergibt f'(x)=0 nach x aufgelöst 0. Das reicht aber noch nicht aus, um zu zeigen, dass x=0 eine Extremstelle der Funktion ist. Du musst auch noch zeigen, dass f'(x) bei 0 das Vorzeichen ändert.

09.03.2015, 17:38

Mathema

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Zitat:

Original von leoclid
Tatsächlich ergibt f'(x)=0 nach x aufgelöst 0. Das reicht aber noch nicht aus, um zu zeigen, dass x=0 eine Extremstelle der Funktion ist.

Tatsächlich? Muss man das verstehen? verwirrt

verwirrt

09.03.2015, 17:49

Gamtja

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Zitat:

Original von leoclid
Du musst auch noch zeigen, dass f'(x) bei 0 das Vorzeichen ändert.

Kannst du das erklären ?

Also wo ich dieses Beispiel her habe, steht in der Lösung.

Tiefpunkt (0/0).

Weil $\begin{eqnarray*} f(0)' = +unendlich > 0 \end{eqnarray*}$

und das kapier ich halt nicht.

09.03.2015, 19:07

mYthos

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An der Stelle 0 befindet sich KEIN relatives Minimum, sondern ein absolutes (der kleinste Funktionswert im gegebenen Bereich). Die Steigung dort ist nicht definiert, also kann man auch ein Vorzeichen nicht angeben. Braucht man auch nicht, denn es liegt ja dort kein relatives Extremum vor.
Das zeigt auch die Tatsache, dass kein Monotoniewechsel stattfindet.

@leoclid
Da hast du dich leider vertan.

mY+

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09.03.2015, 22:36

10001000Nick1

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Zitat:

Original von mYthos
An der Stelle 0 befindet sich KEIN relatives Minimum, sondern ein absolutes

Ein absolutes Extremum ist immer auch ein relatives.

09.03.2015, 23:05

mYthos

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Bei einer relativen Extremstelle (einer stetigen Funktion) hat die erste Ableitung den Wert Null.
Kennzeichnend dafür ist dabei auch der Monotoniewechsel.

Dies ist bei der gegebenen (Wurzel-)Funktion nicht der Fall.

mY+

09.03.2015, 23:29

10001000Nick1

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Also hätte deiner Meinung nach z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=|x|-|x+1|-|x-1| \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ kein relatives Minimum? verwirrt

verwirrt

Laut Definition hat eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}\supseteq D\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0\in D \end{eqnarray*}$ eine relative Minimalstelle, wenn eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} f(x)\geq f(x_0) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in U\cap D \end{eqnarray*}$ gilt. (analog für eine Maximalstelle)

10.03.2015, 01:33

mYthos

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Das stimmt wohl.
Ich hätte vielleicht dazu sagen müssen, die Funktion ist nicht nur stetig, sondern auch differenzierbar an der Stelle.

Aber bei der gegenständlichen Wurzelfunktion kann ich mich noch immer nicht mit einem relativen Minimum an der Stelle 0 anfreunden. Gibt es dort eine Umgebung von 0 ?

10.03.2015, 05:39

IfindU

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Die allgemeinste Definition, die ich dazu kenne, ist die Amann, Escher in Analysis I benutzen.

Sei $\begin{eqnarray*} f \colon X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wobei X ein metrischer Raum ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ ein lokales Maximum, falls eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U \subset X \end{eqnarray*}$ existiert, s.d. $\begin{eqnarray*} f(x) \leq f(x_0) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ . Analog natürlich für Minimum.

Nun ist $\begin{eqnarray*} \sqrt x : [0, \infty) \to [0, \infty) \end{eqnarray*}$ . Damit also $\begin{eqnarray*} X = [0, \infty) \end{eqnarray*}$ (mit der euklidischen Metrik) und die (zusammenhängenden) offenen Umgebungen von der 0 sind die Intervall $\begin{eqnarray*} [0, a) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ .

D.h. nach der Definition besitzt die Wurzelfunktion ein lokales Minimum. Generell sollte globales Maximum/Minimum ein stärkerer Begriff als die lokalen Begriffe sein, aka die lokalen Versionen implizieren.

Was mYthos wohl mit Ableitung gleich 0 meinte sind kritische Punkte, auch stationäre Punkte genannt. Diese sind tatsächlich über die Ableitung definiert.

Die nützliche Bedingung, dass aus f differenzierbar sofort folgt, dass lokale Extrema Ableitung 0 haben, gilt sogar recht allgemein. Die Stelle muss aber im Innern von X liegen. Hier ist es eben nicht der Fall, da $\begin{eqnarray*} 0 \not\in [0,\infty)^\circ = (0, \infty) \end{eqnarray*}$ .

Edit:
Mit der Definition besitzt $\begin{eqnarray*} f = \chi_{\mathbb Q} + \chi_{\mathbb R \setminus \mathbb Q} \end{eqnarray*}$ an jeder irrationalen Zahl ein Minimum und an jeder rationalen Zahl ein Maximum.

10.03.2015, 13:51

Gamtja

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Dadurch das ich hier garnichtsmehr verstehe, muss ich solche Aufgaben wohl noch garnicht lösen können. Aber danke für die antworten.

10.03.2015, 13:57

IfindU

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@Gamtja

Entschuldige! Hier ging es nur darum, wann Randpunkte eines Intervalls auch kritische Punkte sein können. Die Antwort ist, sie können es immer, aber dort muss die Ableitung nicht verschwinden.

Deine Rechnung zeigt, dass die Ableitung nirgendwo verschwindet ( Es gibt kein x mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 x = 0 \end{eqnarray*}$ ), d.h. bis auf die Randpunkte keine Extremstelle besitzt. Nun ist die einzige fragliche Stelle die 0.

Hier fing dann die Diskussion an, ob man das als Extremstelle wertet oder nicht. Im Allgemeinen tut man es, d.h. das ist das einzige Extremum.

10.03.2015, 14:41

Gamtja

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Danke für die Erklärung!

12.03.2015, 15:36

Gamtja

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Noch eine Unklarheit,

wenn ich eine Funktion habe und ich finde ein lokales Extremum, könnte es dann trotzdem sein, dass ich vielleicht trotzdem noch einen viel höheren oder tieferen Punkt am Rand des Intervalls finden kann ?

Oder ist ein lokales Extremum, wenn es eines gibt, immer der höchste/tiefste Punkt der Funktion ?

12.03.2015, 16:17

IfindU

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Der höchste/tiefste Punkt einer Funktion ist ein globales (und lokales) Extremum. Wenn es am Rand liegt, so muss die Ableitung an der Stelle aber nicht verschwinden.

Was du vermutlich meinst sind lokale Extrema im Innern (nicht am Rand) gegen die Randpunkte (ggf. auch Extrema).

Schau dir die Funktion $\begin{eqnarray*} f : [-2,2] \to \mathbb R, f(x) = x^3 - x \end{eqnarray*}$ an. Es hat 2 lokale Extrema, aber an -2 nimmt es das globale Minimum, und bei +2 das globale Maximum an.

12.03.2015, 16:42

Gamtja

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Hm ok, und was sagt mir das ?

Ich hatte z.B. ein Beispiel bei dem die maximale Fläche gesucht war, ein Hochpunkt also.

Wenn die Funktion aber so ausschaut wie die x^3-x dann wäre meine maximale Fläche ja bei x=2 im Intervall [-2;2].

Aber bei so Extremwertaufgaben kann man die Funktion nicht zeichnen und daher frag ich mich nun woher ich wissen kann das das gefundene Extremum wirklich der gesuchte Wert ist.

12.03.2015, 16:42

mYthos

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Ersteres.
Ein lokales bzw. relatives Extremum ist auf eine bestimmte (kleine) Umgebung um die Extremstelle beschränkt. Ausserhalb kann es im ganzen Definitionsintervall durchaus noch Stellen geben, an denen es noch größere bzw. kleinere Funktionswerte gibt.

Hier, im Intervall [0,5 ; 3,5], gibt es 2 lokale Extrema (mit waagrechten Tangenten und Monotoniewechsel) und zwei Randextrema

Edit: Uuups, das war eigentlich eine Antwort auf die vorige Frage ...

12.03.2015, 23:36

IfindU

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@Gamtja

Glücklicherweise haben lokale/globale Extrema eine von 2 seltenen Eigenschaften: Sie liegen am Rand oder sie haben Ableitung 0. Man bestimmt also alle Nullstellen der Ableitung, schaut sich an wie groß/klein die Funktion an den Stellen ist und vergleicht dann noch mit den Werten der Funktion am Rand.

Das sind selten insgesamt mehr als eine handvoll Werte und man bekommt dann durchs direkte Vergleichen den höchsten Wert.

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