Konvergenz: Beweis

09.03.2015, 18:13

skulpt

Konvergenz: Beweis

Hallo,
ich habe folgende Angabe:

Seien $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_{n})_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen. Zeigen sie, dass aus $\begin{eqnarray*} a_{n}<b_{n} \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} \leq \lim_{n \to \infty } b_{n} \end{eqnarray*}$ folgt. Lässt sich hier $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ersetzen?

Mir fehlt da leider etwas der Ansatz.
Da die Folgen konvergieren, haben sie ja einen Grenzwert. Eine Zahl heisst ja Grenzwert einer Folge, wenn in jeder $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von a fast alle Folgeglieder von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ liegen, dass heisst es gilt $\begin{eqnarray*} |a_{n}-a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Jetzt würd ich ja rein intuitiv sagen, da $\begin{eqnarray*} b_{n}>a_{n} \end{eqnarray*}$ für alle Elemente der Folge gilt, müsste ja auch b>a gelten, da b in der b-Folge enthalten ist, und a in der a-Folge. Nimmt man also beliebige $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ , muss ja auch gelten $\begin{eqnarray*} |a_{n}-a| < |b_{n}-b| \end{eqnarray*}$ . Jetzt ist nur die Frage: wenn $\begin{eqnarray*} b_{n}>a_{n} \end{eqnarray*}$ gilt, können nicht beide Folgen als Grenzwert unendlich haben, oder? Dann müsste ja das kleiner gleich durch kleiner ersetzbar sein.

Jetzt stellt sich mir die Frage: gibt es eine Möglichkeit, das ganze sinnvoll mathematisch aufzuschreiben?

09.03.2015, 18:22

bijektion

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Zitat:

Lässt sich hier $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ersetzen?

Dazu gibt es einfache Beispiele.

Zitat:

da b in der b-Folge enthalten ist, und a in der a-Folge.

Was heißt enthalten?

Zitat:

Nimmt man also beliebige $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ , muss ja auch gelten $\begin{eqnarray*} |a_{n}-a| < |b_{n}-b| \end{eqnarray*}$

Nein.

Zitat:

können nicht beide Folgen als Grenzwert unendlich haben

Geht schon, aber hier geht es wohl nicht um uneigentliche Grenzwerte.

Zitat:

gibt es eine Möglichkeit, das ganze sinnvoll mathematisch aufzuschreiben?

Klar, aber du musst erstmal deine Ideen überdenken.

09.03.2015, 18:51

skulpt

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Zitat:

Original von bijektion
Was heißt enthalten?

Damit meinte ich, dass b ein Folgenglied der b-Folge ist, und a ein Folgenglied der a-Folge.

Zitat:

Nein.

Gut, müsste wohl in dem Fall größer gleich sein.

Zitat:

Geht schon, aber hier geht es wohl nicht um uneigentliche Grenzwerte.

Naja, wird ja nicht eindeutig gesagt, oder?

Zitat:

Klar, aber du musst erstmal deine Ideen überdenken.

Das Problem ist, dass ich nicht weiss, wie sinnvoll meine Ideen sind.

09.03.2015, 18:57

bijektion

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Zitat:

Damit meinte ich, dass b ein Folgenglied der b-Folge ist, und a ein Folgenglied der a-Folge.

Das stimmt nicht, betrachte $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n}\right)_n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Gut, müsste wohl in dem Fall größer gleich sein.

Nein.

Zitat:

Naja, wird ja nicht eindeutig gesagt, oder?

Dann machen wir es erst o.B.d.A. ohne uneigentliche und betrachten die separat, sonst gibt da Probleme, denn $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert.

Zum eigentlichen Beweis. Es ist klar, dass es reicht, $\begin{eqnarray*} b-a\geq 0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Dadurch reduziert sich die Sache darauf, für eine konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (c_n)_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_n>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} c_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ (hier nutzt du die Grenzwertsätze). Hast du dafür eine Idee?

12.03.2015, 10:16

jul1ij4

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Kurze Frage zu der Aufgabe:

So ne Art Aufgaben muss ich auch im Staatsexamen lösen. Könnte man da auch zwei Beispeiele für konvergente folgen nehmen wie [attach]37452[/attach]
beide Folgen konvergieren ja gegen 0 somit, wäre die Aussage richtig, wenn jetzt gefragt wäre ob die Aussage richtig ist oder nicht.

könnte man das so begründen?
Vielen Dank

12.03.2015, 12:01

bijektion

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Die genannten Folgen sind natürliche Gegenbeispiele dafür, dass man $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ nicht durch $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ersetzen darf.

Welche Aussage meinst du?

12.03.2015, 18:15

Shalec

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Ich denke mal, dass ihr eine konvergente Folge so definiert habt, dass der Grenzwert existiert. Im Zusammenhang mit der Existenz des Grenzwertes wird dann häufig auch der uneigentliche Grenzwert ausgeschlossen und als Kriterium für die Divergenz angeführt.
Hier solltest du deine Unterlagen nochmal genau studieren.

Im Übrigen erinnert mich das an einen Teil des "Sandwich Lemmas" (Auch Einschnürungssatz..).

Ich gebe wieder ab an bijektion :-)

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