Zusammenhang zwischen Kreuzkorrelation und Faltung

09.03.2015, 22:41	Mandel	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang zwischen Kreuzkorrelation und Faltung Hallo zusammen... Ich habe ein kleines Verständnisproblem, was den Zusammenhang zwischen der Faltungsoperation und der Kreuzkorreltaion angeht. Die Faltung ist ja folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} \left( f \ast g \right)(t) = \int_{\mathbb R } \! f(\tau)g(t-\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$ Während die Kreuzkorrelation gegeben ist durch: $\begin{eqnarray} \left( f \star g \right)(t) = \int_{\mathbb R } \! f^\ast (\tau)g(t+\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$ Soweit, so gut! Nun soll aber auch gelten: $\begin{eqnarray} \left( f \star g \right)(t) = f^\ast(-t) \ast g (t) \end{eqnarray}$ Das versteh ich irgendwie nicht? Kann mir einer vom Schlauch helfen? Wenn ich in das Faltungsintegral statt $\begin{eqnarray} f(\tau) \end{eqnarray}$ nun $\begin{eqnarray} f^\ast(-\tau) \end{eqnarray}$ einsetze, kommt doch nicht das Kreuzkorrelationsintegral raus... Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
10.03.2015, 08:15	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituier doch mal
10.03.2015, 10:34	Mandel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm.... Ok Wenn ich statt $\begin{eqnarray} f(\tau) \end{eqnarray}$ nun $\begin{eqnarray} f^\ast(-\tau) \end{eqnarray}$ einsetze, bekomm ich erstmal: $\begin{eqnarray} f^\ast (-t) \ast g (t) = \int_{\mathbb R } \! f^\ast (-\tau)g(t-\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$ Jetzt substituieren... $\begin{eqnarray} \tilde{\tau} = - \tau \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \Rightarrow f^\ast (-t) \ast g (t) = \int_{\mathbb R } \! f^\ast (\tilde{\tau})g(t+\tilde{\tau}) \, d\tilde{\tau} \end{eqnarray}$ Sieht erstmal so aus, wie's soll... Aber müsste da wegen $\begin{eqnarray} d\tilde{\tau} = - d\tau \end{eqnarray}$ nicht noch nen "-" vor's Integral? Oder denk ich gerade vollkommen falsch?
10.03.2015, 10:40	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst es ja eindimensional, also $\begin{eqnarray} \int_\mathbb{R} f^(-\tau)g(t-\tau) \mathrm{d}\tau = \int_{-\infty}^{\infty}f^(-\tau)g(t-\tau) \mathrm{d}\tau \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \sigma=-\tau \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} -\int_{\infty}^{-\infty}f^(\sigma)g(t+\sigma) \mathrm{d}\sigma = \int_{-\infty}^{\infty}f^(\sigma)g(t+\sigma) \mathrm{d}\sigma = (f\star g)(t) \end{eqnarray}$ .
10.03.2015, 11:59	Mandel	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, die Integrationsgrenzen drehen sich mit. Das ganze sauber aufschreiben hat schon seine Vorteile Danke
10.03.2015, 12:25	Mandel	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine kleine Verständnisfrage zum Schluss Wenn ich statt $\begin{eqnarray} f^\ast(-t) \ast g (t) \end{eqnarray}$ nun $\begin{eqnarray} f(t) \ast g^\ast (-t) \end{eqnarray}$ dastehen habe... Bedeutet das dann: $\begin{eqnarray} \int_\mathbb{R} f(\tau)g^(-t-\tau) \mathrm{d}\tau \end{eqnarray}$ Oder: $\begin{eqnarray} \int_\mathbb{R} f(\tau)g^(-t+\tau) \mathrm{d}\tau \end{eqnarray}$ Also ändert sich dann im $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ unterm Integral auch das Vorzeichen der Integrationsvariable $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ , oder nicht? Hab dazu nirgends was gefunden
Anzeige

10.03.2015, 13:42	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du schnell umgehen, da $\begin{eqnarray} f\ast g=g\ast f \end{eqnarray}$
10.03.2015, 16:57	Mandel	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon klar Wie gesagt... Wahr eher ne Verständnisfrage O Aber durch den Hinweis bin ich, hoffe ich, eben selbst drauf gekommen. Ausgangspunkt: $\begin{eqnarray} f^\ast (-t) \ast g (t) = \int_{\mathbb R } \! f^\ast (-\tau)g(t-\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$ Wenn ich $\begin{eqnarray} f^\ast (-t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(t) \end{eqnarray}$ vertausche, erhalte ich: $\begin{eqnarray} g(t) \ast f^\ast (-t) = \int_{\mathbb R } \! g(\sigma) f^\ast (X) \, d\sigma \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ der Ausdruck des Interesses ist Die beiden Integrale müssen gleich sein. Wenn ich die Substitution $\begin{eqnarray} \sigma = t - \tau \end{eqnarray}$ wähle, muss $\begin{eqnarray} X = -\tau \end{eqnarray}$ sein. Ich muss also $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ nur nach $\begin{eqnarray} -\tau \end{eqnarray}$ umstellen und einsetzen und erhalte $\begin{eqnarray} X = -t + \sigma \end{eqnarray}$ , bzw. : $\begin{eqnarray} g(t) \ast f^\ast (-t) = \int_{\mathbb R } \! g(\sigma) f^\ast (-t + \sigma) \, d\sigma \end{eqnarray}$ Bitte sag, dass ich recht hab

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »