R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5

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10.03.2015, 12:22	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 Meine Frage: Hallo Leute, 2 kleine Wahr / Falsch Fragen zum Thema Topologie.. $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ist homöomorph zu einer abgeschlossenen Menge des $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ist homöomorph zu einer offenen Menge des $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ schon mal nicht homöomorph sind. (Invarianz der Dimension) Es können auch nicht beide Aussagen richtig sein, da sonst $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \subset \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ homöomorph zu einer offene und abgeschlossene Teilmenge des $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ wäre. Aber in einem zusammenhängende topologsichen Raum $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , sind $\begin{eqnarray} \emptyset, X \end{eqnarray}$ die einzigen Menge, die offen und abgeschlossen sind. Ich war jetzt am überlegen, ob $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ selbst offen ist in $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ , davon gehe ich nämlich aus. (Analog zu $\begin{eqnarray} \mathbb R \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ hier ist doch auch $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.. Danke schon mal
10.03.2015, 12:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 Wie genau identifizierst du denn $\begin{eqnarray} \mathbb R \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ?
10.03.2015, 12:34	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 mhh, ist halt die eine Achse habe mir da nicht so wirklich Gedanken gemacht. $\begin{eqnarray} \mathbb R \subset \mathbb C \cong \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ daraus enstand irgendwie der Gedanke. Aber eigentlich ist ja $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gar keine Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Ich kann höchstens sagen: $\begin{eqnarray} \mathbb R \cong R = \{ (x,0)\| x\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ oder?
10.03.2015, 12:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 Genau. Das eine mögliche Identifikation, sogar die kanonische. Die Frage ist als ob $\begin{eqnarray} R \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ abgeschlossen oder offen ist. Siehst du es jetzt besser? Vlt noch ein Tipp: Falls du mit deiner Vermutung recht hast, und R tatsächlich offen ist, dann kannst du um jedes Element einen 2-dimensionalen (!) Ball finden, der komplett in R liegt. Wenn du diesen angeben kannst, bist du fertig. Falls nicht, ändere deine Vermutung
10.03.2015, 12:45	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 Der $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ - Ball der ganz in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ passt wurde glaube ich noch nirgends gesehen Also ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ nicht offen offen, aber deswegen muss $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ja noch nicht abgeschlossen sein. Allerdings konvergieren alle Folgen, die in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ laufen, auch in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Daher würde ich folgern, dass $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist.
10.03.2015, 13:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 Beides richtig
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10.03.2015, 13:52	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 ist das dann bei meinem ursprünglichen Problem analog? Also ist $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ homöomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge im $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ ??
10.03.2015, 13:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 Sag du es mir
10.03.2015, 14:41	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 ein Versuch war es wert also ich identifiziere wieder $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \cong \{ (x_1,x_2,x_3,x_4,0)\| x_i \in \mathbb R \ \forall i = 1,...,4 \} \subset \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt einen $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ Ball um ein Element aus dieser Menge wähle, dann sieht dieser ja so aus: $\begin{eqnarray} B(x,\epsilon) = \{ y \in \mathbb R^5 \| d(x,y) < \epsilon \} \end{eqnarray}$ dieser Ball liegt aber nicht ganz in der Menge drin, er enthält auch Elemente außerhalb. Denn es muss ja nur gelten $\begin{eqnarray} \sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2+\lambda^2} < \epsilon \end{eqnarray}$ also liegt zum Beispiel auch $\begin{eqnarray} (0,0,0,0,\frac{\epsilon}{2}) \end{eqnarray}$ im Ball, aber nicht in der Menge so?
10.03.2015, 14:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 Genau. Einfacher wäre $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \cong \{ ( x, 0) \| x \in \mathbb R^4 \} \subset \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ zu schreiben. Daran sieht man auch sofort, dass die gleiche Argumentation durchgeht.
10.03.2015, 15:04	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 Also ist letzten Endes $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ homömorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge des $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ Das Folgenargument geht ja auch in dieser Dimension, was mir die Abgeschlossenheit liefert..
10.03.2015, 15:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R^4 homöomorph zu einer abgeschlossene Menge des R^5 Genau Ich bin mir bloss nicht sicher wie man die Existenz einer Inklusion in eine offene Menge ausschließt. Es klingt bei deiner Anfangsargumentation nämlich so als ob du vermutest man müsse eine offene und zugleich abgeschlossene Mengen finden, zu der der Raum nicht homöomorph ist. A priori muss das natürlich sind. Zumindest für ein offenes, reelles Intervall kann man zeigen, dass es homoömorph zu ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist. In höheren Dimensionen bräuchte man aber mindestens mehr "Zusammenhang", da nicht alle offene Mengen so nett zusammenhängen wie ein Intervall. Edit: Wenn man wüsste, dass das Urbild eines Homöo eines kleinen offenen Balles konvex ist, so könnte man ein Homoömorphismus zwischen $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \to \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ basteln. Allerdings scheint es nicht trivial so einen Ball zu finden. Es sollte auch Sternförmig reichen, aber da bin ich gerade genauso ratlos.

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