Grenzwert von (sqrt(x³))/(e^x)

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10.03.2015, 12:40	jul1ij4	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von (sqrt(x³))/(e^x) Meine Frage: Ich suche den Grenzwert von lim x->? (?x³/e hoch x) Meine Ideen: Ich habe es abgeleitet und das rausbekommen 3/2?x/e hoch x. Ich denke da ganze geht gegen 0 weil 1/e hoch x gegen 0 strebt. Bin mit aber nicht sicher ob es reicht die Ableitung hinzuschreiben und dann strebt gegen 0 wenn es richtig ist mit der 0. Vielen Dank schon mal
10.03.2015, 12:46	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht um $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \frac{x^3}{e^x} \end{eqnarray}$ ? Ja dies geht gegen Null. Exponentielles wachstum "toppt" jede Potenz. Scheinbar möchtest du hier mit L'Hospital arbeiten. Bitte kläre die Fragezeichen in deiner Notation. Deine Ableitung sieht falsch aus. L'Hospital muss öfters angewendet werden.
10.03.2015, 13:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Von der Ableitung des Zählers würde ich mal tippen das Fragezeichen ist eigentlich eine Wurzel.
10.03.2015, 13:22	jul1ij4	Auf diesen Beitrag antworten »
So jetzt habe ich die Formel im Word eingetippt. Ich hoffe ihr könnt es dann sehen wenn ich das hier rein kopiere. Im Zähler ist vor x³ eine Wurzel Deshalb 3/2 in der Ableitung [attach]37435[/attach] Vielden Dank für die schnellen Antworten
10.03.2015, 13:34	jul1ij4	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe noch eine Frage zum Grenzwert: [attach]37436[/attach] Bei der Aufgabe habe ich auch Grenzwert 0 bekommen. Habe [attach]37437[/attach] ausgeklammert und da das gegen 0 geht, geht auch der Rest gegen 0. Stimmt das?
10.03.2015, 13:39	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deiner ersten Folge: Mal abgesehen davon, dass unterm Limes ein n steht und kein x, solltest du nun noch einmal L'Hospital anwenden. Mit der zweiten Folge beschäftigen wir uns gerne danach.
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10.03.2015, 13:52	jul1ij4	Auf diesen Beitrag antworten »
`Hab mit gerade ein Video zu L`Hospital angeschaut, habs nähmlich schon bei der anderen Aufgabe nicht verstanden. Habs jetzt aber auf die chnelle auch nicht verstanden, weil ich noch kein konkretes Bsp. gesehen habe. Falls ihr Zeit habt, könnt ihr mir das vielleicht aufschreiben? Hab nächste Woche Staatsexamen und das war auch eine von den Aufgaben die ich bisher nicht lösen konnte und nur Vermutungen aufgestellt habe. Vielen Dank für eure Mühe
10.03.2015, 14:01	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist denn L'Hospital ein Handwerkszeug, dass ihr mit auf den Weg bekommen habt? Du kannst ja auch nicht einfach etwas verwenden, was ihr nie besprochen habt. Eigentlich ist das ganz einfach. L'Hospital lässt sich anwenden wenn du einen Ausdruck wie $\begin{eqnarray} \frac{0}{0} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ erhalten würdest, wenn du den Grenzwertprozess durchführst und dabei Zähler und Nenner einzeln betrachtest. L'Hospital sagt nun, dass du dann auch jeweils die Ableitungen der Zähler und Nennerfunktion betrachten darfst und sich am Grenzwert nichts ändert. $\begin{eqnarray} N(x)=\sqrt{x^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z(x)=e^x \end{eqnarray}$ Geht x gegen unendlich ist dies natürlich auch unendlich und damit kannst du L'Hospital anwenden. Im Grunde hast du das ja bereits getan. Du betrachtest nun also $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \frac{N'(x)}{Z'(x)} \end{eqnarray}$ Das hast du ja auch noch hinbekommen: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \frac{\frac32\sqrt{x}}{e^x} \end{eqnarray}$ Nun fällt uns hier aber auf, dass wir immer noch so einen unbestimmten Ausdruck haben wie $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ . Der Grenzwert bleibt uns bisher also noch verborgen und wir wenden L'Hospital noch einmal an. Mache das also nun.
10.03.2015, 14:15	jul1ij4	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh. Vielen lieben Dank. Wir hatten es zwar besprochen aber ich kann mich nicht mehr daran erinnern weil es schon vor Jahren war. Jetzt habe ich es aber mal verstanden denke ich. so habs nochmal angewendet und das heraus bekommen: [attach]37438[/attach] und dann kann ich ja einfach sagen das es gegen den Grenzwert 0 geht oder muss ich da noch was machen bzw. aufschreiben? Vielen Dank nochmal
10.03.2015, 14:19	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne eine nähere Begründung würde ich hier die Antwort Null noch nicht gelten lassen. Kommt aber wohl auch drauf an wer das korrigiert. Im Zähler haben wir nun etwas konstantes und der Ausdruck im Nenner geht offensichtlich gegen unendlich. Der Grenzwert einer solchen Folge müsste bekannt sein.
10.03.2015, 14:24	jul1ij4	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, dann zeige ich das es im Nenner gegen unendlich geht. Und dann gegen 0 Vielen lieben Dank nochmal.
10.03.2015, 14:39	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen musst du das nicht mehr. Das solltest du wissen... Besteht noch Interesse an der zweiten Folge? Deine Idee ist im Grunde richtig. Allerdings scheitert es wohl an der Umsetzung. Ich würde es mit dem sogenannten Sandwich-Lemma machen. Das kennst du doch bestimmt?
10.03.2015, 14:58	jul1ij4	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das weiß ich eigentlich auch Sandwich- Lemma kenn ich leider nicht. Wir haben nur den Sandwichsatz gemacht bezogen auf Folegn. Vielleicht wird das ja bei uns anders genannt ka, jedenfalls habe ich von Sandwich-Lemma nichts gehört. So habe ich das gemacht Zunächst eine Fallunterscheidung wegen -1 hoch n [attach]37442[/attach] und dann kann ich ja zeigen das die Brüche mit Exponenten gegen 0 gehen und somit nur noch 2/1 übrig als 2 Faktor und der Erste Faktor geht gegen 0. Ist das dann so richtig?
10.03.2015, 15:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
An sich ist Fallunterscheidung gar nicht nötig, insgesamt bist du aber auf der richtigen Spur: $\begin{align} a_n:=\frac{\pi + 2\cdot 3^n}{4^n + (-1)^n\cdot 5} = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \underbrace{\frac{\frac{\pi}{3^n} + 2}{1 + \left(-\frac{1}{4}\right)^n\cdot 5}}_{\to 2} \end{align}$ Die Konvergenz des Faktors rechts bedeutet, dass er sich irgendwann (d.h. für $\begin{align} n\geq n_0 \end{align}$ ) in einem $\begin{align} \varepsilon \end{align}$ -Band um 2 bewegt, d.h. für diese $\begin{align} n\geq n_0 \end{align}$ gilt $\begin{align} (2-\varepsilon)\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n < a_n < (2+\varepsilon)\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n \end{align}$ , das ist so ein Sandwich, wie es oben schon mal erwähnt wurde. Da das links wie rechts Nullfolgen sind, trifft das auch auf $\begin{align} (a_n) \end{align}$ in der Mitte zu.
10.03.2015, 15:24	jul1ij4	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön. Ja so in der Art haben wir das noch nie gemacht. Danke für die Mühe und die Erklärung

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