Extremwertaufgaben

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10.03.2015, 16:38	tobir	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben Meine Frage: Hi. Ich hänge gerade an einer kleinen Stelle und finde meinem Fehler nicht. Vielleicht könnte mir jemand helfen??? Ich muss die minimale Oberfläche eines zylinders ohne Deckel mit einem Volumen von 1000L bestimmen. Meine Ideen: Habe schon die Zielfunktion: pi "r^3" + 2000r. Da kann ich dann aber mit der hinreichenden Bedingung kein Extremum bestimmen, weil ich dann aus einer negativen Zahl eine Wurzel ziehen muss. Aber das muss doch gehen. Wo ist denn mein Fehler? Danke.....
10.03.2015, 17:00	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Wie bist du denn auf deine Zielfunktion gekommen? Und wie sieht deine Randbedingung aus?
10.03.2015, 17:17	tobir	Auf diesen Beitrag antworten »
Also da der zylinder oben offen ist ändert sich was entsprechend an der Formel für die Oberfläche. O(r,h) = pi r^2 + 2 pi r h V (r, h) = pi r^2 h = 1000 letzteres nach r^2 aufgelöst ergibt h = 1000 / (pi r ^2) eingesetzt in O ergibt dann entsprechend die genannte Zielfunktion. Irgendwo muss ein Fehler sein
10.03.2015, 18:04	tobir	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich glaub ich habe meinen Fehler gefunden. Habe beim umschreiben (bzw. der Erweiterung mit r (um den Bruch zu entfernen)) das r bei der 2000 nicht gekürzt.... Somit ergibt sich eine andere Zielfunktion.
10.03.2015, 18:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Da Klarsoweit wohl gerade offline ist: Bis zum Ausrechnen von h sieht alles gut aus. Wie du beim Einsetzen von h in O deine Zielformel bekommst, ist mir allerdings ein großes Rätsel.
10.03.2015, 18:07	tobir	Auf diesen Beitrag antworten »
doch nicht so bleibt nur noch pi r^3 übrig bei der ableitung und dann wäre r = 0
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10.03.2015, 18:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst dich da wirklich massivst zu verrechnen. Was ist denn $\begin{eqnarray} 2000 \pi \cdot r \cdot \frac { 1000 } { \pi \cdot r^2} \end{eqnarray}$ ?
10.03.2015, 18:55	tobir	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh... Aber ich habe doch als Zielfunktion nur pi r^2 + 2 pi r(1000/pi ^2) das umgerechnet ist doch pi r^2 + 2000/r und das mit r erweitert pi r^3+2000 Edit: Beitrag wiederhergestellt. LG Iorek
10.03.2015, 19:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung Tobir! Ich habe ausversehen deinen Beitrag editiert, statt einen neuen zu schreiben. Ich hoffe das kann zügig gefixt werden. Ok, die 2000 waren mein Fehler. Aber du darfst nicht einfach mit r multiplizieren! Es ist üblich mit r zu multiplizieren, nachdem man etwas 0 gesetzt hat und r = 0 auszuschließen ist. Weil man es auf beiden Seiten macht, ist es nur eine Umformungen. Du änderst massivst deine Funktion! Du kannst dir ja mal plotten die Funktionen der Form 1/x, 1 = x * 1/x und x aussehen. Die Funktionen haben nicht einmal ein ähnliches Verhalten.
10.03.2015, 19:09	tobir	Auf diesen Beitrag antworten »
OH man... Stimmt. Ich habe irgendwie an die Bruchrechnung gedacht, aber selbst dann wäre es ja falsch, weil ich ja mit r/r erweitern würde. DANKE ich lass die Funktion also einfach so und leite dann ab.... Danke
10.03.2015, 19:21	tobir	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage hätte ich aber noch.... Bei diesen Aufgaben muss ich ja immer noch überprüfen, ob es sich um globale Extrema handelt. Bei angegebenen Definitionsbereichen oder dergleichen ist das ja alles noch machbar. Aber wie schaut es jetzt hier aus? Reicht da eine Argumentation mit dem Wissen über den Verlauf der Funktion? Ich weiß ja, dass es eine nach oben geöffnete Parabel ist. Die hat nur ein Extrema.. Da der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist, ist das errechnete Extrema also global????? Danke
10.03.2015, 19:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Extrema teilen sich in 2 Kategorien auf: Sie liegen nicht am Rand des Intervall, und dort haben wir Ableitung gleich 0 (finden wir also über die Ableitung), oder Sie liegen auf dem Rand. Dort hilft die Ableitung nur mäßig, aber hier haben wir den Vorteil, dass es kaum Stellen gibt. In dem Fall suchst du von 0 bis unendlich. D.h. 0 (und in einem gewissen Sinne unendlich) sind die Randpunkte, und alles andere liegt nicht am Rand. Bei 0 ist die Funktion moralisch unendlich, definitiv kein Minimum. Du müsstest dann noch untersuchen, was bei r gegen +unendlich passiert. Es könnte natürlich sein, dass der Mantel des Zylinders unfassbar viel Material braucht und man praktisch ohne Material auskommt, wenn die Grundfläche sehr groß ist. Sehr hypothetisch, aber möglich. D.h. die Ableitung erschlägt das meiste, und die wenigen Einzelfälle (selten mehr als 2), erschlägt man dann per Hand.
10.03.2015, 19:49	tobir	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war etwas zu hoch für mich.... muss ich da jetzt notwendigerweise noch was rechnen oder kann ich sagen, dass für x --> unendlich auch f(x) --> unendlich geht und somit kein Minimum an den Rändern ist? Hört sich für mich etwas schwammig an. Bei definierten Intervallgrenzen kann ich diese ja immerhin in der Funktion einsetzen und somit alles überprüfen....
10.03.2015, 19:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht zu schwammig!
10.03.2015, 20:02	tobir	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich.... :=) Also könnte ich das in etwa so wie ich das erklärt habe erklären???
10.03.2015, 20:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Schulmathematik definitiv. Für Uni würde ich ggf. erwarten, dass du die Definition von der Divergenz gegen unendlich benutzt, um zu zeigen, dass für $\begin{eqnarray} M = 2 f(x_0) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ das lokale Minimum ein $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ existiert s.d. $\begin{eqnarray} f \geq M \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [a, \infty) \end{eqnarray}$ . Daraus folgt dann, dass außerhalb des kompakten Intervall $\begin{eqnarray} [0, a] \end{eqnarray}$ nur größere Werte liegen. Damit ist das globale Minimum der Funktion bereits in dem Intervall zu finden. Man kaaaaann es also sauber argumentieren, aber ohne explizit auf die Definition von Konvergenz und ggf. einigen anderen Spielzeugen wird es schwer bzw unmöglich.

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