Partielle DGL 2. Ordnung

10.03.2015, 20:59	fe258	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle DGL 2. Ordnung Meine Frage: Hey.. ich habe die aufgabe eine partielle differetialgleichung numerisch mit Matlab zu lösen. Das habe ich auch soweit gemacht jedoch brauche ich um diese zu kontrollieren eine analytische lösung des problems und genau da happert es bei mir. ich weiß einfach nicht wie man an sowas rangehen kann. :/ die mathebücher über diese themen sind mir einfach zu hoch da ich mich noch nie mit so "hoher" mathematik auseinander setzen musste.. hier die DGL [latex]-u_{xx}-u_{yy}=u+(2 \pi^2 -1)\cdot cos(\pi x)\cdot cos(\pi y) [\latex] Mit den Neumannrandbedingungen u_n=0 auf dem Gebiet (0,1)x(0,1) Bin für jeden Ansatz dankbar mit den Neumannrandbedingungen: auf dem Gebiet (0,1)x(0,1) bin für jeden ansatz oder hilfe dankbar ! Grüße Meine Ideen: Leider kann ich einen Ansatz nicht genau sagen
10.03.2015, 21:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle DGL 2. Ordnung Es ist jedenfalls nicht trivial eine/ die Lösung zu bekommen. Auf den ersten Blick bin ich recht zuversichtlich, dass eine eindeutige existiert in $\begin{eqnarray} W^{1,2} \end{eqnarray}$ (Satz von Lax-Milgram). Man kann wohl eine Greensche Funktion für das Gebiet und die modifizierte Laplace-Gleichung basteln. Aber: Ich würde mich wundern, wenn man spätestens dort das Integral explizit auswerten kann, damit man eine "schöne" Lösung bekommt. Es gibt einen Grund, warum man so hohe Mathematik auf PDGs wirft -- am häufigstens kann man froh sein, wenn man Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung zeigen kann. Dann springt man schon vor Freude im Kreis Was wir gemacht haben, also wir per Hand Löser für PDGs geschrieben haben und vergleichen wollte wie gut unsere Lösung ist, haben wir es einmal sehr fein (lies: sehr lange) durchlaufen lassen und nach allgemeiner Theorie behauptet, dass diese Lösung gar nicht so weit weg sein kann (bis auf eine beliebig große Konstante, aber Numeriker nehmen es nicht so genau ). Das also effektiv als Lösung benutzt und damit die anderen, schneller berechneten Lösungen berechnet. Insbesondere interessant wie schnell es gegen diese Lösung konvergierte.
11.03.2015, 09:41	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die exakte Lösung der partiellen Dgl. $\begin{eqnarray} -\tfrac{\partial ^2u}{\partial x^2}-\tfrac{\partial ^2u}{\partial y^2}-u=(2\pi^2-1 )\cdot \cos(\pi x)\cos( \pi y) \end{eqnarray}$ lautet $\begin{eqnarray} u(x,y)=\cos(\pi x)\cdot \cos(\pi y) \end{eqnarray}$ .
11.03.2015, 10:33	fe258	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, erstmal ganz großes danke an die beiden Helfer Ehos ich habe das mal nach geprüft in dem ich die Gleichung 2 mal nach x und y abgeleitet habe und eingesetzt habe. Mit cos(pix)cos(piy) als analytische Lösung ergibt sich dabei ein störterm von: $\begin{eqnarray} f(x,y)=cos(\pi x)\cdot cos(\pi y)\cdot (2 \pi^2-2) \end{eqnarray*}$ Es ist also nur die -2 in der Klammer falsch Könntest du mir vllt deinen Rechenweg offen legen? Danke !
11.03.2015, 10:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Meiner Meinung nach hast du dich verrechnet. Zu lösen war die Gleichung $\begin{eqnarray} -\tfrac{\partial ^2u}{\partial x^2}-\tfrac{\partial ^2u}{\partial x^2}=u+(2\pi^2-1)\cdot \cos(\pi x)\cdot \cos(\pi y) \end{eqnarray}$ Die 2.Ableitungen der Funktion $\begin{eqnarray} u(x,y)=\cos(\pi x)\cdot \cos(\pi y) \end{eqnarray}$ nach x bzw. nach y lauten $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial ^2u}{\partial x^2}=-\pi^2 \cdot u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial ^2u}{\partial y^2}=-\pi^2 \cdot u \end{eqnarray}$ Einsetzen in die obige Dgl. liefert also $\begin{eqnarray} \pi^2u+\pi^2u=u+(2\pi^2-1)\cdot u \end{eqnarray}$ Demnach stimmt meine Lösung.
11.03.2015, 10:54	fe258	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja verrechnet :/ Könntest du mir vllt deinen Rechenweg noch zeigen iwie? Danke
Anzeige

11.03.2015, 11:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei deiner Dgl. konnte man die Lösung ohne Rechnen sofort ablesen, weil der Autor der Aufgabe es absichtlich so eingerichtet hat. Im allgemeinen muss man die Fouuriersche Methode benutzen, was schwieriger ist. Das heißt, man löst das zur Aufgabe gehörige Eigenwertproblem und entwickelt die Lösung in einer Reihe nach den Eigenfunktionen. Wie das funktioniert kann ich hier nicht mit wenigen Worten erklären.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »