Homöomorphie jetzt oder nie!

11.03.2015, 11:11	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphie jetzt oder nie! Meine Frage: Hallo Leute, ich versuche gerade meine Vorstellung bzgl. der Homöomorphie zu verbessern. Es geht um folgenden 2 (kleine) Aufgaben 1) Sind die Räume $\begin{eqnarray} X_1 = \mathbb C \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y_1 = \mathbb S^1 \times \mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ homöomorph? 2) Sind die Räume $\begin{eqnarray} X_2 = \mathbb C \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y_2 = \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ homöomorph? Meine Ideen: zu 1. Nein, denn $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ hat nur eine Randkomponenten (der Rand um das Loch bei der Null, im unendlichen habe ich ja kein Rand) und $\begin{eqnarray} Y_1 \end{eqnarray}$ hat 2 Randkomponenten. $\begin{eqnarray} Y_2 \end{eqnarray}$ sieht ja aus, wie ein Zylindermantel, also oben und unten einen Rand, wobei es ja einmal auch bis ins unendliche geht.. mhh also hier bin ich mir wirklich unsicher.. zu 2. $\begin{eqnarray} Y_2 \end{eqnarray}$ ist zusammenziehbar, $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ nicht, daher kann keine Homöomorphie vorliegen. Danke für die Hilfe Edit: Habe gerade festgestellt, dass in die (1) die beiden Räume wohl doch homöomorph sind. Auf beiden Flächen gibt es nur 2 Homotopieklassen von geschlossenen Kurve.. weiß aber nicht, ob dies als Begründung schon ausreicht. Aber von der Vorstellung her, kann man ja die Ebene also $\begin{eqnarray} \mathbb C \setminus \{ 0\} \end{eqnarray}$ so von außen nach oben klappen und bisschen verformen und erhält dann, wenn man das Loch noch vergrößert auch so einen nach oben unendlichen Zylinder..
11.03.2015, 12:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, für (1) kann man einen Homöomorphismus leicht angeben. Denke an die Kreise um 0 in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ und an deren Radien. Ergänzung: Die Zuordnung von Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray} \psi:\mathbb C\to \mathbb S^1\times \mathbb R_{>0}, re^{i\varphi}\to (\varphi,r) \end{eqnarray}$ ist ein Homöomorphismus.
11.03.2015, 12:31	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homöomorphie jetzt oder nie! ok, danke und die 2 stimmt oder?
11.03.2015, 12:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt auch. Die punktierte Ebene und die Ebene sind nicht homöomorph. (Da bin ich mir sicher.)

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