Dreidimensionales Lebesguemaß - Cavalieri

11.03.2015, 14:59

Mathelover

Dreidimensionales Lebesguemaß - Cavalieri

Hallo zusammen,

ich habe ein Verständnisfrage. Wieso kann ich folgende Aufgabe nicht mit dem Transformationssatz und dem Satz von Tonelle mit Hilfe von Zylinderkoordinaten lösen?
In der Musterlösung wird das ganze mit dem Prinzip von Cavalieri gelöst. Wenn ich die Aufgabe mit Transform/Tonelli/Zylinderkoordinaten löse, bekomme ich ein anderes - wohlmöglich- falsches Ergebnis. Aber warum?

Berechnen Sie das dreidimensionale Lebesguemaß der Menge:

$\begin{eqnarray*} M = \left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3:3x^2+3y^2+4z^2\leq16,x^2+y^2\leq 4z^2, z\geq 0\right \} \end{eqnarray*}$

Danke für jeden Hinweis.
Freude

11.03.2015, 15:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelover
Wenn ich die Aufgabe mit Transform/Tonelli/Zylinderkoordinaten löse, bekomme ich ein anderes - wohlmöglich- falsches Ergebnis. Aber warum?

Da meine Glaskugel mir nicht verrät, wie genau deine Rechnung da aussieht, solltest du sie vielleicht hier darlegen, wenn du bei der Fehlersuche Hilfe haben willst.

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$\begin{align*} M \end{align*}$ ist radialsymmetrisch, keine Frage: Zylinderkoordinaten $\begin{align*} x=r\cos\varphi,y=r\sin\varphi,z=z \end{align*}$ führen zur Darstellung

$\begin{align*} M = \left\{ (r,\varphi,z):\; -\pi<\varphi\leq\pi,\; 3r^2+4z^2\leq 16,\;r^2\leq 4z^2,\;z\geq 0 \right\} \end{align*}$

Offenbar macht das ganze nur für $\begin{align*} 4z^2\leq 16 \end{align*}$ , also $\begin{align*} |z|\leq 2 \end{align*}$ Sinn, womit wir letztendlich bei

$\begin{align*} M = \left\{ (r,\varphi,z):\; -\pi<\varphi\leq\pi,\;0\leq z\leq 2,\; 0\leq r\leq \sqrt{\min\left\{\frac{16-4z^2}{3}, 4z^2\right\}} \right\} \end{align*}$

sind, was man bei genauerer Berechnung des z-Übergabewertes dieses $\begin{align*} \min \end{align*}$ -Konstrukts auch als

$\begin{align*} M = \left\{ (r,\varphi,z):\; -\pi<\varphi\leq\pi,\; 0\leq z\leq 1,\; 0\leq r\leq 2z \right\} \cup \left\{ (r,\varphi,z):\; -\pi<\varphi\leq\pi,\; 1<z\leq 2,\; 0\leq r\leq \sqrt{\frac{16-4z^2}{3}} \right\} \end{align*}$

schreiben kann. Der erste Teil dieser Vereinigung ist ein Kreiskegel, der zweite Teil ein Segment von einem Rotationsellipsoiden.

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