Quotientenräume bestimmen

12.03.2015, 13:46	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenräume bestimmen Meine Frage: Hallo Leute, folgendes Problem: Ich habe 2 Flächen 1) $\begin{eqnarray} \mathbb S^2 \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und 2) $\begin{eqnarray} \mathbb T \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ also den Torus Nun folgenden Fragen: a) Der Quotientenraum $\begin{eqnarray} \mathbb S^2 \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} (x,y,z) \sim (x,y,-z) \end{eqnarray}$ ist homöomorph zu? b) Der Quotientenraum $\begin{eqnarray} \mathbb S^2 \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} (x,y,z) \sim (x,-y,-z) \end{eqnarray}$ ist homöomorph zu? geht noch weiter, aber mal die ersten 2 Meine Ideen: Also ich weiß nicht ob ich bei diesem Aufgabentyp die richtige Vorgehensweise habe, wir müssen keinen expliziten Homöomorphismus angeben, sonder nur durch Überlegen, Skizze, Geistesblitz die Räume bestimmen. Ich würde da ja jetzt von der Vorstellung so rangehen. zu a) Ich habe die Kugeloberfläche und identifiziere durch die Relation gerade die Punkte, die sich bzgl. der z - Achse gegenüberliegen. Wenn ich mir das nur mal beim obersten Punkt, also dem Norpol vorstellen, dann wird dieser ja mit dem Südpol identifiziert. Also mache ich aus denen beiden Punkten durch verkleben einen Punkt. Dadurch wird die Kugel flach gedrückt und ich erhalte die $\begin{eqnarray} \mathbb D^2 \end{eqnarray}$ Kreisscheibe. zu b) Wenn ich nun in 2 Koordinaten was drin stehen habe, was die Relation betrifft, dann bin ich mir nicht sicher, ob ich das einfach nacheinander betrachten kann. Also erste wieder die Punkte bezgl. der z-Achse verkleben, dann erhalte ich wieder die Kreisscheibe. Nun im zweiten Schritt verklebe ich die Punkte bzgl. der y - Achse und erhalte dann wieder eine Kugel. Also ist der Quotientenraum $\begin{eqnarray} \mathbb S^2 \end{eqnarray}$ wieder eine Kugel. kann ich mir das so vorstellen? oder wie macht ihr das? Vor allem bei der b) weil ich das ja so in 2 Schritte mache, da würde mich interessieren ob ich das immer so machen kann, oder nicht. Danke für die Hilfe
15.03.2015, 17:58	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientenräume bestimmen Hallo Leute, kann mir hier noch jemand helfen? Wäre wirklich dankbar
16.03.2015, 09:14	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientenräume bestimmen Zu b): Wenn du Schnitte parallel zur yz-Ebene betrachtest, dann werden in den entstehenden Kreisen gegenüberliegende Punkte miteinander identifiziert.

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