Fundamentalgruppe eines Teilraums

12.03.2015, 15:33

steviehawk

Fundamentalgruppe eines Teilraums

Meine Frage:
Hallo Leute,

ist die Fundamentalgruppe $\begin{eqnarray*} \pi_1(A,x_0) \end{eqnarray*}$ eines Teilraums $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ eines topologischen Raums $\begin{eqnarray*} (X,T) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe der Fundamentalgruppe $\begin{eqnarray*} \pi_1(X,x_0) \end{eqnarray*}$ des ganzen Raums?

Wenn ja warum? Wenn nein, warum nicht?

Meine Ideen:
Also meine Vermutung wäre dass die Antwort ja ist. Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen, warum das so ist smile

Danke

12.03.2015, 16:10

IfindU

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RE: Fundamentalgruppe eines Teilraums
Wenn das stimmt, so würde es folgendes implizieren:
Ist X einfach zusammenhängend, so ist $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ einfach zusammenhängend.

Klingt es immer noch richtig? Augenzwinkern

12.03.2015, 17:13

steviehawk

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RE: Fundamentalgruppe eines Teilraums
Oh nein, das stimmt ja nicht. Gegenbeispiel

$\begin{eqnarray*} X = [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = \{ 0 \}\cup \{1\} \end{eqnarray*}$

oder habe ich es mir hier zu einfach gemacht?

12.03.2015, 17:20

IfindU

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RE: Fundamentalgruppe eines Teilraums
Ok, dein Beispiel zeigt eine Unsauberkeit meinerseits. Da man x_0 fixiert, müsste es heißen:
Ist die Wegzusammenhangskomponente von X , die x_0 enthält,einfach-zusammenhängend, so gilt dies auch für die Wegzusammenhangskomponente von A, die x_0 enthält.
...
Das davor hörte sich weniger technisch an.

Edit: Vlt als Tipp: Falls X die reellen Zahlen darstellt, so stimmt diese Aussage tatsächlich. Denk als etwas höher-dimensionaler.

12.03.2015, 18:24

steviehawk

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RE: Fundamentalgruppe eines Teilraums
mhh das Problem ist, ich kenne noch nicht so viele Beispiele.

Ich weiß eben, dass jeder zusammenhängende Raum triviale Fundamentalgruppe hat. Also auch der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \mathbb C \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ hat ja dank dem Abbildungsgrad $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ als Fundamentalgruppe.

Kann ich jetzt zum folgendes machen?

$\begin{eqnarray*} X = \mathbb C \end{eqnarray*}$

der Teilraum $\begin{eqnarray*} A = \mathbb C \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

So dann hat $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ triviale Fundamentalgruppe aber $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ als Fundamentalgruppe, was keine Untergruppe der trivialen Gruppe ist.

so? verwirrt

12.03.2015, 18:27

IfindU

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RE: Fundamentalgruppe eines Teilraums
Genau. Freude

Die Aussage ist also absoluter Schwachsinn. Sie würde nämlich bedeuten, dass die einzige Möglichkeit eine Teilmenge zu nehmen die Struktur "verbessern" würde. Man kann aber problemlos Löcher reinmachen, oder andere verrückte Sachen.

Du kannst dir auch überlegen, dass die andere "Richtung" auch falsch ist. Mit der anderen Richtung meine ich: "Die Fundamentalgruppe von X ist eine Untergruppe der Fundamentalgruppe von A."

Edit:
Damit meinte ich das Beispiel. Die Aussage

Zitat:

Ich weiß eben, dass jeder zusammenhängende Raum triviale Fundamentalgruppe hat

widerlegst du selbst kurz später.

12.03.2015, 18:40

steviehawk

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RE: Fundamentalgruppe eines Teilraums
oh danke für den Hinweis. Der Raum muss natürlich EINFACH zusammenhängend sein, dass die Fundamentalgruppe trivial ist.

$\begin{eqnarray*} \mathbb C \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ ist ja auch zusammenhängend, aber hat keine triviale Fundamentalgruppe.

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