Integralrechnung mit fehlendem Parameter

12.03.2015, 21:09

Sanz

Integralrechnung mit fehlendem Parameter

Meine Frage:
Hallo Leute.

Folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen:

Für welchen Wert des Parameters a > 0 schliesst die
Kurve $\begin{eqnarray*} y = -\frac{1}{3}x^{3}+ax \end{eqnarray*}$ mit der x-Achse im
ersten Quadranten die Fläche 6 ein?

Meine Ideen:
Um diese Aufgabe zu lösen müsste ich ja die Unter und Obergrenze kennen. Oder zumindest den Parameter a. Aber was ist die Obergrenze? Das Integral ist $\begin{eqnarray*} y = -\frac{1}{12}x^{4}+\frac{1}{2}ax^{2} \end{eqnarray*}$ mit den Untergrenze 0 und der mir unbekannten Obergrenze. Wie bekomme ich die? Ich habe auch probiert, die Schnittpunkte mit der y-Achse zu bestimmen, was jedoch nich geht, weil ja da noch das a drinn ist. Wie muss ich nun vorgehen?

12.03.2015, 21:18

IfindU

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RE: Integralrechnung mit fehlendem Parameter
Die Kurve y hat 3 Nullstellen, eine für negative x, eine für x = 0 und eine für positive x. Gesucht ist die Fläche zwischen der "x = 0" und positiven Nullstelle. D.h. die obere Grenze ist diese Nullstelle, und diese kann man recht leicht angeben. Sie hängt natürlich von a ab, aber nachdem du es in die Stammfunktion einsetzt und die Information benutzt, dass diese Fläche gerade 6 ist, ergibt sich eine sehr leichte Gleichung in a.

12.03.2015, 22:25

anorthosi

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RE: Integralrechnung mit fehlendem Parameter
Guten Abend

Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe ja die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} y = -\frac{1}{12}x^{4}+\frac{1}{2}ax^{2} \end{eqnarray*}$

F(b)--F(a) ist nun: $\begin{eqnarray*} y = -\frac{1}{12}*0^{4}+\frac{1}{2}a*0^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - (-\frac{1}{12}*?^{4}+\frac{1}{2}a*?^{2}) = 6 \end{eqnarray*}$

Der erste Teil ergibt 0. Somit bleibt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}*?^{4}+\frac{1}{2}a*?^{2} = 6 \end{eqnarray*}$

Ich habe nun 2 Unbekannte. Ich verstehe leider immer noch nicht, wie man die Obergrenze(positive Nst.) findet. Hammer

Gruss

12.03.2015, 22:30

IfindU

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RE: Integralrechnung mit fehlendem Parameter
Wenn du die Aufgabe bekommst alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} y = - \frac 1 3 x^3 + ax = -\frac x 3 ( x^2 - 3a) \end{eqnarray*}$ zu finden, wie gehst du vor?

13.03.2015, 10:38

anorthosi

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RE: Integralrechnung mit fehlendem Parameter
Guten Tag

Ich löse das mit der abc Formel. Die eine Nullstellle ist 0. Für die andere bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} \pm \frac{\sqrt{\frac{4a}{3} } }{\frac{2}{3} } <br /> \end{eqnarray*}$

Ich habe das mal für x eingesetzt in : $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{12}x^{4}+\frac{1}{2}ax^{2} \end{eqnarray*}$

und danach nach a aufgelöst. Ich erhalte 2.79, in der Lösung steht jedoch $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Da ich aber nicht mit gerundeten Werten gearbeitet habe, kann es nicht stimmen.

Gruss

13.03.2015, 10:50

klarsoweit

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RE: Integralrechnung mit fehlendem Parameter

Zitat:

Original von anorthosi
Ich löse das mit der abc Formel. Die eine Nullstellle ist 0. Für die andere bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} \pm \frac{\sqrt{\frac{4a}{3} } }{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

Jetzt hatte IfindU das doch schon so schön aufbereitet, daß man mit einem Blick sehen kann, daß $\begin{eqnarray*} \sqrt{3a} \end{eqnarray*}$ die positive Nullstelle ist. smile

Zitat:

Original von anorthosi
Ich habe das mal für x eingesetzt in : $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{12}x^{4}+\frac{1}{2}ax^{2} \end{eqnarray*}$

Wie lautete noch deine Stammfunktion?

13.03.2015, 14:24

anorthosi

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RE: Integralrechnung mit fehlendem Parameter
Ok. Die STammfunktion habe ich falsch hingeschrieben. Die Nullstelle sehe ich jetzt. Ich bin mir leider gewohnt, immer die abc Formel zu verwenden für quadratische Gleichungen. Ich habe nun die Nst. Wurzel von 3a genommen und mit diese als obere Grenze verwendet. Das ERgebniss war leider falsch. Aber ich versuchs einfach nochmal. Vielen Dank euch beiden.

Gruss

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