Abschätzung um Koerzivität einer Sesquilinearform zu zeigen

13.03.2015, 12:34	Soralll	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung um Koerzivität einer Sesquilinearform zu zeigen Guten Tag Community, ich habe derzeit ein Problem bzgl. einer Abschätzung bzw. einer Schlussfolgerung aus einer bestehenden Abschätzung. Es handelt sich dabei um eine Sesquilinearform $\begin{eqnarray} a : W_2^{0,1}(\Omega)\times W_2^{0,1}(\Omega) \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Ich möchte gerne zeigen, dass diese koerziv ist. Dazu habe ich folgendes gefunden: $\begin{eqnarray} \text{Re}(a(u,u))\geq ... \geq 2^{-1}c \parallel \nabla u\parallel_2^2 - \left( (2c)^{-1}\parallel b\parallel_\infty^2 + \parallel c \parallel_\infty - \text{Re}(\lambda)\right) \parallel u \parallel_2^2 \end{eqnarray}$ wobei nun gefolgert wird, dass wenn $\begin{eqnarray} (2c)^{-1}\parallel b\parallel_\infty^2 + \parallel c \parallel_\infty \leq \text{Re}(\lambda) \end{eqnarray}$ ist, dass es dann koerziv ist. Diesen letzten Schritt jedoch verstehe ich nicht wirklich. Wir müssten doch zeigen, dass ein $\begin{eqnarray} C>0 \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} \text{Re}(a(u,u))\geq C\parallel u\parallel_{W_2^{0,1}(\Omega)}^2 \end{eqnarray}$ Hoffe mir kann jemand helfen, warum das daraus folgt. MfG Soralll
13.03.2015, 12:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung um Koerzivität einer Sesquilinearform zu zeigen Wenn es echt kleiner in der Abschätzung ist, bekommst du doch $\begin{eqnarray} \text{Re}(a(u,u))\geq ... \geq c_1\\| \nabla u\\|_2^2 + c_2 \\| u \\|_2^2 \geq \min(c_1, c_2) \\| u \\|_{W^{0,1}_2}^2 \end{eqnarray}$ . Falls c_2 = 0 ist, muss man noch argumentieren warum in dem Fall $\begin{eqnarray} \\| u \\|_{W^{0,1}_2} \leq C \\| \nabla u \\|_{2}^2 \end{eqnarray}$ .
13.03.2015, 13:07	Soralll	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay also würde man sagen $\begin{eqnarray} c_1,c_2>0 \end{eqnarray}$ , dann wäre es fertig. Demnach müsste es dann koerziv sein für alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} c_2(\lambda)>0 \end{eqnarray}$ richtig? Kann durchaus auch sein, dass dieses die ursprüngliche Aussage sein sollte. Habe nämlich diese Abschätzung in zwei verschiedenen Beweisen gefunden, in diesem Skript, und in dem einen war ein Echt-Kleiner gefolgert in dem anderen ein Kleiner-Gleich.
13.03.2015, 13:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Die Frage ist eigentlich, ob du die Poincare-Ungleichung anwenden kannst oder nicht. Ich kann mit der Notation des Sobolev-Raums wenig anfangen. Es kann sein, dass die 0 für Nullrand steht -- dann kann man natürlich c_2=0 haben, weil der erste Summand die Norm dominiert.
13.03.2015, 13:59	Soralll	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Null sollte den Sobolevraum mit Nullrandbedingung kennzeichnen. Das bedeutet, dass hier dann das $\begin{eqnarray} c_2\geq 0 \end{eqnarray}$ sein kann, da man weiter abschätzt durch $\begin{eqnarray} a(u,u)\geq ... \geq c_1\parallel \nabla u \parallel_2^2 + c_2\parallel u \parallel_{W_2^{0,1}(\Omega)} \geq C\parallel \nabla u \parallel_2^2 \end{eqnarray}$ wobei letzteres durch die Friedrichsche Ungleichung folgt. Da $\begin{eqnarray} \parallel \nabla \cdot \parallel_2 \end{eqnarray}$ eine äquivalente Norm auf $\begin{eqnarray} W_2^{0,1}(\Omega) \end{eqnarray}$ ist gilt dann die Koerzivität für alle $\begin{eqnarray} c_2 \geq 0 \end{eqnarray}$ , richtig? In dem anderen Fall handelt es sich bei dem $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ um ein Element in $\begin{eqnarray} W_2^1(\Omega) \end{eqnarray}$ . Daher lässt sich die Friedrichsche Ungleichung nicht anwenden und ich muss auf den Fall zurückgreifen, dass $\begin{eqnarray} c_2>0 \end{eqnarray}$ ist. Ist das so richtig? Oder komplett daneben xD
13.03.2015, 13:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so
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