Vollständige Induktion

13.03.2015, 14:43

sylive

Vollständige Induktion

Für $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ betrachten wir die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} A(n) = 4^{1} + 4² + ...+ 4^{n}=2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass A(n) für alle $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich hab als ersten Schritt die Gleichung als Summe geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=4}^{n} 4^{n} \end{eqnarray*}$

Und jetzt vollständige Induktion:

Induktionsanfang: A(1) gilt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=4}^{1} 4^{1}=2^{1+1}=4 \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt: Für alle $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ gilt A(n) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A(n+1).
Induktionsannahme: Wir nehmen an, dass für ein gewisses $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ A(n) gilt.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=4}^{n+1} 4^{n}=\sum\limits_{i=4}^{n} 4^{n}+4^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =^{Induktionsanfang} 2^{n+1}+4^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2^{n}*2+4^{n}*4 \end{eqnarray*}$

Ich bin nicht sicher ob ich es bis hier richtig gemacht habe und ich weiß auch nicht weiter zu machen verwirrt

13.03.2015, 14:56

Captain Kirk

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Hallo,

die Behauptung ist falsch. Setz einfach mal n=2 ein.

Außerdem sind deine ganzen Summen falsch.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=4}^{n} 4^{n} = (n-4) 4^n \end{eqnarray*}$
Was du meinst ist:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} 4^{i} \end{eqnarray*}$

13.03.2015, 15:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Außerdem sind deine ganzen Summen falsch.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=4}^{n} 4^{n} = (n-4) 4^n \end{eqnarray*}$

Korrekt ist natürlich: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=4}^n 4^n = (n-3) 4^n \end{eqnarray*}$ smile

13.03.2015, 16:48

sylive

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Hallo,

die Behauptung ist falsch. Setz einfach mal n=2 ein.

Außerdem sind deine ganzen Summen falsch.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=4}^{n} 4^{n} = (n-4) 4^n \end{eqnarray*}$
Was du meinst ist:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} 4^{i} \end{eqnarray*}$

Oh nein

wie geht es weiter denn?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} 4^{i}= \sum\limits_{i=1}^{n} 4^{i} + ? \end{eqnarray*}$

13.03.2015, 17:12

Captain Kirk

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$\begin{eqnarray*} [latex]\sum\limits_{i=1}^{n+1} 4^{i}= \sum\limits_{i=1}^{n} 4^{i} + 4 ^{n+1} \end{eqnarray*}$ [/latex]

13.03.2015, 17:29

sylive

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Zitat:

Original von Captain Kirk
$\begin{eqnarray*} [latex]\sum\limits_{i=1}^{n+1} 4^{i}= \sum\limits_{i=1}^{n} 4^{i} + 4 ^{n+1} \end{eqnarray*}$ [/latex]

$\begin{eqnarray*} = 2^{n+1}+4^{n+1} <br /> = 2^{n}*2+4^{n}*2 \end{eqnarray*}$

wie zeigt man, dass A(n+1) gezeigt ist?

13.03.2015, 17:32

Captain Kirk

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Bitte lies doch nochmal meinen ersten Beitrag.
Offensichtlich hast du das noch nicht getan.

13.03.2015, 17:55

sylive

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Bitte lies doch nochmal meinen ersten Beitrag.
Offensichtlich hast du das noch nicht getan.

meine Sie mit n=2? Ich habe nicht so richtig verstanden wo ich es einsetzen muss.

13.03.2015, 18:00

Captain Kirk

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die Behauptung ist falsch.

Ich drück mich ja manchmal unklar aus, aber wie viel klarer soll ich es denn noch sagen?
Oder stört dich das Wort Behauptung, und du hättest lieber Aussage?

13.03.2015, 19:46

sylive

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Zitat:

Original von Captain Kirk
die Behauptung ist falsch.

Ich drück mich ja manchmal unklar aus, aber wie viel klarer soll ich es denn noch sagen?
Oder stört dich das Wort Behauptung, und du hättest lieber Aussage?

Können Sie denn bitte die Schritte hier schreiben? ich wäre sehr dankbar sein, wenn Sie hier eine komplete Lösung schreiben könnten

13.03.2015, 20:03

Captain Kirk

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Wor scheinen wirklich verschiedene Sprachen zu sprechen, ich versuchs nochmal:

Für $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ betrachten wir die Gleichung: $\begin{eqnarray*} A(n) = 4^{1} + 4² + ...+ 4^{n}=2^{n+1} \end{eqnarray*}$ Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass A(n) für alle $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ gilt.
Das kann man nicht "lösen" oder beweisen.

Die Aussage ist falsch.

A(n) gilt nicht für alle natürlichen Zahlen
A(2) ist z.B. keine wahre Aussage.

Es ist hier also nichts zu "lösen" oder zu beweisen.

Hier gilt es die Aufgabenstellung zu überprüfen, ob sie wiedergegeben wurde bzw. den Aufgabensteller zu fragen was der Unfug soll.

Zitat:

wenn Sie hier eine komplete Lösung schreiben könnten

Punkt 1: unter Mathematikern ist das "Du" üblich, so auch hier am Board.
Punkt 2: Bitte lies dir den Link rechts oben auf der Seite mit dem Namen "Prinzip" durch.

Edit: Einen LaTeX-Tag entfernt, der da nicht hingehörte. LG Iorek

13.03.2015, 20:52

sylive

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Jetzt habe ich verstanden. Deutsch ist nicht meine Muttersprache, sondern meine dritte, so vielleicht deswegen habe ich ihnen nicht so gut verstanden. Die Aufgabe die ich geschrieben habe, war in eine Klausur aber ich konnte mich nicht an die Aussage errinern, so hab ich die erstellt. Die Aussage war über vollständige Induktion und diese Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} A(n) = 4^{1} + 4² + ...+ 4^{n}=2^{n+1} \end{eqnarray*}$
Ich hab schon das Prinzip gelesen, aber ich konnte nicht was sie meinten verstehen, deswegen hab ich ihnen gefragt für die Lösung.
Können Sie vielleicht schätzen was man mit dieser Aufgabe machen kann?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.03.2015, 21:29

Malur

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Danke Kirk, ich hab das jetzt stupide selber nachrechnen wollen und mich total gewundert, warum hier nur Quark raus kommt... beim 2. Blick wird klar, dass die Behauptung echt nicht stimmen kann! Wink

14.03.2015, 19:33

sylive

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Zitat:

Original von Malur
Danke Kirk, ich hab das jetzt stupide selber nachrechnen wollen und mich total gewundert, warum hier nur Quark raus kommt... beim 2. Blick wird klar, dass die Behauptung echt nicht stimmen kann! Wink

Wie würde die Behauptung sein?

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