Ordnung eines Gruppenelements teilt Supremum der Elementordnungen

13.03.2015, 21:16

Mandelbrötchen

Ordnung eines Gruppenelements teilt Supremum der Elementordnungen

Ich versuche momentan folgende Aufgabe zu lösen, scheitere bisher aber sehr kläglich daran:

Es sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe, in der jedes Element endliche Ordnung hat.

Zu zeigen ist: Ist $\begin{eqnarray*} m:=\sup\{ord(x)|x\in G\}<\infty \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} ord(a)|m \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem ist, dass ich wüsste wie die Lösung funktioniert, wenn ich mir sicher sein könnte, dass es ein Element $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ gibt, für das $\begin{eqnarray*} ord(x)=m \end{eqnarray*}$ gilt. Genau hier ist aber das Problem: Ich bin mir nicht sicher, ob es ein solches Element gibt.

Ich habe auch schon etwas gelesen und einen Ansatz gesehen, der davon ausgeht, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ endlich sei, ich bin aber nicht überzeugt, dass das richtig ist.

Allgemein könnte man ja auch versuchen zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a^m=1_G \end{eqnarray*}$ gilt, hier komme ich aber bisher auch nicht wirklich weit.

Ich wäre wirklich dankbar für Ideen, wie ich hier anfangen kann!

Viele Grüße,
Mandelbrötchen Wink

13.03.2015, 21:20

IfindU

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RE: Ordnung eines Gruppenelements teilt Supremum der Elementordnungen
Die Ordnung ist eine natürliche Zahl. Damit ist $\begin{eqnarray*} \{ \text{ord}(x) \} \end{eqnarray*}$ eine endliche Menge, und damit "Supremum = Maximum", d.h. es wird angenommen.

13.03.2015, 21:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mandelbrötchen
Ich habe auch schon etwas gelesen und einen Ansatz gesehen, der davon ausgeht, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ endlich sei

Das brauchst du doch gar nicht - es reicht doch, dass $\begin{eqnarray*} \{ord(x) \mid x\in G\} \end{eqnarray*}$ endlich ist - und das folgt unmittelbar aus der Supremumsvoraussetzung. Augenzwinkern

EDIT: Ups, das passiert, wenn man sich ein paar Minuten ablenken lässt. Big Laugh

13.03.2015, 21:25

Mandelbrötchen

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RE: Ordnung eines Gruppenelements teilt Supremum der Elementordnungen
Dass die Ordnung eine natürliche Zahl ist, ist offensichtlich, das ist wahr.
Aber deshalb ist doch die Menge noch lange nicht endlich. Das liegt doch eher daran, dass $\begin{eqnarray*} m<\infty \end{eqnarray*}$ gilt, oder? Und deshalb kann ich sagen, dass das Supremum auch wirklich angenommen werden muss, da die Menge endlich ist oder?

13.03.2015, 21:27

IfindU

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RE: Ordnung eines Gruppenelements teilt Supremum der Elementordnungen
Es liegt an beidem zusammen. Falls die Ordnung reell sein dürfte, reicht die Schranke nicht um die Existenz von g zu zeigen. Da es aber natürlich ist, folgt aus der Schranke, dass die Menge nur endlich viele Elemente enthält.

13.03.2015, 21:29

Mandelbrötchen

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RE: Ordnung eines Gruppenelements teilt Supremum der Elementordnungen
Tut mir leid, meinte schon beides zusammen smile

Vielen Dank! Hab wirklich kurz an mir gezweifelt unglücklich

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Ordnung eines Gruppenelements teilt Supremum der Elementordnungen

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