Bw Mathe 2006 Runde 2 Frage Zu Aufgabe

13.03.2015, 22:47

leoclid

Bw Mathe 2006 Runde 2 Frage Zu Aufgabe

http://www.mathe-wettbewerbe.de/bwm/aufgaben

Es geht um die Aufgabe 4 der 2. Runde des Bundeswettbewerb Mathematik 2006

Ich wollte euch fragen, ob diese Lösung (Habe dazu nix in den Lösungsbeispielen gefunden, richtig ist.

ACHTUNG WER ES SELBST PROBIEREN WILL NICHT WEITERLESEN

Mit $\begin{eqnarray*} N(k) \end{eqnarray*}$ bezeichnen wir die Anzahl der zifferreduzierten Zahlen mit Genau k Stellen.

Es gilt:

N(k)=9*8*9^{k-1} für k\geq 10

Beweis:
Für die erste Ziffer haben wir 9 Möglichkeiten (Dort kann eine 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 stehen)
Dann müssen wir uns entscheiden welche der übrigen 8 Ziffern nicht in der Summe vorkommen darf
Anschließend werden die übrigen (k-1) verbleibenen Stellen mit den 9 "erlaubten" Ziffern aufgefüllt.

Nun berechnen wir die Summe aller ziffernreduzierten Zahlen, die mit der 1 beginnen. Insgesamt gibt es 8*9^{k-1} ziffernreduzierte Zahlen, die mit der 1 beginnen und k Stellen haben. Diese sind alle größer als 10^(k-1), also ist auch die Summe der Kehrwerte kleiner als

$\begin{eqnarray*} 8*9^{k-1} \end{eqnarray*}$ * ( 1 / $\begin{eqnarray*} 10^{k-1} \end{eqnarray*}$ ) .

Kongruent erhält man für die Summe aller Ziffernreduzierten Zahlen, die mit der Ziffer "a" beginn.
Insgesamt gibt es 8*9^(k-1) ziggernreduzierte Zahlen, die mit der "a" beginnen und k Stellen haben. Diese sind alle größer als a*10^(k-1), also ist auch die Summe der Kehrwerte kleiner als

$\begin{eqnarray*} 8*9^{k-1} \end{eqnarray*}$ * ( 1 / $\begin{eqnarray*} a*10^{k-1} \end{eqnarray*}$ ) .

Also ist die Summe der Kehrwerte aller ziffernreduzierte Zahlen mit k Stellen kleiner als

(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9)* $\begin{eqnarray*} 8*9^{k-1} \end{eqnarray*}$ * ( 1 / $\begin{eqnarray*} 10^{k-1} \end{eqnarray*}$ )

Haue ich das ganze in Wolframalpha, so ist die Summe über k von k=10 bis unendlich ungefähr 90. Die Summe aller Kehrwerte aller Zahlen kleiner als 10^(k-1) ist offentsichtlich kleiner als 90. Und deswegen ist die Summe aller Kehrwerte aller ziffernreduzierte Zahlen kleiner als 180.

Stimmt das soweit???

13.03.2015, 23:39

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

es geht leider schon bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} N(k) \end{eqnarray*}$ los.

Zitat:

Dann müssen wir uns entscheiden welche der übrigen 8 Ziffern nicht in der Summe vorkommen darf

das sind nicht 8 Ziffern, sondern 9. Abgesehen davon zählst du dabei ziemlich viel doppelt. Beispielsweise hast du $\begin{eqnarray*} 11111111111111111111 \end{eqnarray*}$ gleich mehrfach dabei, weil es hier egal ist, ob man 2,3,4,5,6,7,8,9 nicht als Ziffer zulässt. Allerdings hättest du damit ja dann ja eine obere Schranke, ob diese noch ausreicht, habe ich nicht nachgerechnet. Richtig könnte man $\begin{eqnarray*} N(k) \end{eqnarray*}$ mit der Siebformel bestimmen, indem du $\begin{eqnarray*} A_k^j := \{z\in\mathbb N~\vert~ z\text{ ist k-stellige Zahl, enthält Ziffer }j\text{ nicht.}\} \end{eqnarray*}$ definierst. Dann bekommst du $\begin{eqnarray*} N(k) = \left|\bigcup_{j=0}^9A_k^j\right| \end{eqnarray*}$ . Berechnung wie gesagt mit Siebformel.

Grad gelesen:
Dieser Ansatz ist schon ausgeführt: Variante 1 zeigt wie die exakte Berechnung funktioniert und Variante 2 verwendet die korrekte Abschätzung. Deswegen habe ich mir den Rest jetzt nicht mehr im Detail angeschaut, du kannst ja in der Lösung nachlesen.

14.03.2015, 09:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist übrigens eine typische Aufgabe, die so niemals bei einer Olympiade, nicht mal bei der IMO auftauchen würde: Nicht, weil sie zu schwer ist, sondern weil man bei der angestrebten Schranke 180 nicht gar zu grob abschätzen darf, was doch einige relativ aufwändige Zahlenrechnungen bedeutet, die unter Klausurbedingungen ohne TR einfach nur Folter wären. Beim BWM indes war sie gut augehoben. Augenzwinkern

14.03.2015, 11:13

leoclid

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Abschätzung hat funktioniert, auch wenn sie nicht so gut war.

Stimmt, die Aufgabe passt nicht zur Olympiade. Aber beim BWM sind die Aufgaben auch oft so, dass man über einen längeren Zeitraum nachdenken muss. Also da muss man sich schon ein paar mal länger dransetzen.

Bei Olympiadeaufgaben (Bis 3. Runde) funktionieren eben auch oft "Patentrezepte".

Bei BWM Aufgaben brauch man oft eine größere Kreativität.

Neue Frage »

Antworten »

Bw Mathe 2006 Runde 2 Frage Zu Aufgabe

Verwandte Themen