Beweis ausreichend?

14.03.2015, 12:42

goldfisch91

Beweis ausreichend?

Ich möchte gerne beweisen, dass eine lineare Abbildung T: R^n -> R^n die surjektiv ist, dann auch injektiv ist

Meine Idee:

{b1,...,bn} sei eine Basis von R^n, da T surjektiv ist, ist dann auch {T(b1),...,T(bn)} eine Basis von R^n. Also spannen die erste Basis und die zweite Basis den selben Raum R^n auf. Daraus folgt dann, dass T umkehrbar ist, also ist T bijektiv und insbesondere injektiv.

14.03.2015, 12:50

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Wenn Du den zweiten Satz weglässt, wird es richtig.

14.03.2015, 13:00

goldfisch91

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also spannen die erste Basis und die zweite Basis den selben Raum R^n auf.

Was ist daran falsch?

14.03.2015, 13:08

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Logik ist falsch. Aus der Tatsache, dass die beiden Basen denselben Raum aufspannen folgt nicht die Umkehrbarkeit von T. Aus der Tatsache, dass die zweite Menge eine Basis ist folgt die Umkehrbarkeit von T.

14.03.2015, 13:27

goldfisch91

Auf diesen Beitrag antworten »

na gut. das meinte ich eigentlich smile

danke

14.03.2015, 13:33

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du jetzt noch zeigen würdest, wie das folgt, würde ich Dir glauben, dass Du es verstanden hast.

14.03.2015, 13:42

goldfisch91

Auf diesen Beitrag antworten »

So genau beweisen kann ich das gar nicht. Ich stell mir das ehrlich gesagt so bildlich vor, dass das Bild von T nunmal R^n ist , und somit eine "bildliche" umkehrbarkeit" funktioniert.

14.03.2015, 17:09

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gar nicht gut. Jede(r) darf sich vorstellen, was sie oder er will, aber das hat mit Mathematik nicht viel zu tun. Meine Oma hat gesagt : "Glauben heißt nicht wissen". Außerdem weiß ich beim besten Willen nicht, wie du Dir den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{56234567234} \end{eqnarray*}$ vorstellst, nachdem Albert Einstein erhebliche Mühe hatte, sich den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ vorzustellen.

Beweis: Definiere die Umkehrung auf der Basis $\begin{eqnarray*} \{T(b_1),...,T(b_n)\} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} T^{-1}(T(b_1)):=b_1,...,T^{-1}(T(b_n)):=b_n \end{eqnarray*}$ (wie denn sonst ???) und setze sie zu der dadurch eindeutig bestimmten linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ fort (vorausgesetzt, Du weißt, wie das geht, wenn nicht, musst Du das lernen). Dann ist $\begin{eqnarray*} T^{-1}\circ T=T\circ T^{-1}=id \end{eqnarray*}$ auf den beiden Basen, also wegen der jeweils eindeutigen Basisdarstellung jeden Vektors die Identität auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . (Auch dieser letzte Satz lässt sich noch in allen Einzelheiten beweisen.) Also ist (per Definition) $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Beweis ausreichend?

Verwandte Themen