Bestimmtes Integral mit Potenzreihendarstellung

14.03.2015, 14:03	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmtes Integral mit Potenzreihendarstellung Meine Frage: Hallo! Ich habe Probleme mit folgendem Integral: $\begin{eqnarray} \int_0^{1/2} \frac{\ln(1+x)}{x} dx \end{eqnarray}$ Laut Angabe ist es mit der Potenzreihendarstellung zu lösen. Meine Ideen: Zur Potenzreihendarstellung: $\begin{eqnarray} \ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \cdot \frac{x^k}{k} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \int_0^{1/2} \frac{\ln(1+x)}{x} = \int_0^{1/2} \frac{\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \cdot \frac{x^k}{k}}{x} = \int_0^{1/2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \cdot \frac{x^{k-1}}{k} = \left[\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \cdot \frac{x^{k}}{k^2}\right]_0^{1/2} = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \cdot \frac{(\frac{1}{2})^{k}}{k^2} \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Nun habe ich aber leider keine Ahnung, wie ich diese letzte Summe auflösen kann...
14.03.2015, 14:41	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs noch ein wenig vereinfacht: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \cdot \frac{(\frac{1}{2})^k}{k^2} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k = - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ Bringt mich jetzt aber auch nicht sonderlich weiter...
14.03.2015, 15:10	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo $\begin{eqnarray} ln(1 +x)= x -\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \end{eqnarray}$ Das ersetzt Du und dividierst durch x. Dann kannst Du integrieren.
14.03.2015, 15:14	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt, ich nehme nur die ersten Glieder und nehme dafür eine kleine Abweichung beim Ergebnis in Kauf?

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