Lineare Unabhängigkeit

14.03.2015, 15:59

Rivago

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Lineare Unabhängigkeit

Gegeben sind die 3 Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{v_1}\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v_2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} und \overrightarrow{v_3}\begin{pmatrix} 1 \\ t \\ t-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bilden die 3 Vektoren für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , d.h. sind sie linear unabhängig?

Das müsste doch so gehen?

$\begin{eqnarray*} 0 = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ t-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis hier hin?

14.03.2015, 16:05

Dopap

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soweit in Ordnung , nur sollte es $\begin{eqnarray*} \vec 0 = \cdots \end{eqnarray*}$ heißen.

14.03.2015, 16:12

Rivago

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Okay, dann hab ich 3 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 0 = s + k + v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = s + vt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = s + k + v(t-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = -v - k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -v - k + vt \end{eqnarray*}$

Und hier kann ich irgendwie nicht nach v auflösen verwirrt

verwirrt

14.03.2015, 16:21

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago
Okay, dann hab ich 3 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 0 = s + k + v(t-1) \end{eqnarray*}$

warum ausmultiplizieren ? $\begin{eqnarray*} v=-\frac {s+k}{t-1} \end{eqnarray*}$

14.03.2015, 16:30

Rivago

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Ja und wenn ich das wieder woanders einsetz, zum Beispiel in die 1.:

$\begin{eqnarray*} 0 = s + k - \frac{s + k}{t - 1} \end{eqnarray*}$

Jetzt nach s auflösen.

Und das klappt nicht. Das s fliegt dann jedes mal raus verwirrt

verwirrt

14.03.2015, 17:45

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago
Okay, dann hab ich 3 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 0 = s + k + v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = s + vt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \color{red} 2 }s + k + v(t-1) \end{eqnarray*}$

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14.03.2015, 17:46

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago
Okay, dann hab ich 3 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 0 = s + k + v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = s + vt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = {\color{red} 2 }s + k + v(t-1) \end{eqnarray*}$

vielleicht liegts an der roten 2. ?

14.03.2015, 17:48

Rivago

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Ja, in der Tat, daran könnte es wohl liegen Big Laugh

Big Laugh

Ich mach kurz Abendbrot und melde mich dann noch mal. Wink

Wink

14.03.2015, 18:20

Rivago

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unglücklich

Wie soll das denn nur gehen? Ich hasse Parameter Hammer

Hammer

0 = s + k + v

0 = s + vt

0 = 2s + k + v(t-1)

Das t stört mich..

v = -(2s + k) / t-1

0 = s + k - (2s + k) / t-1

s = t-1

Haut das hin?

14.03.2015, 18:21

Dopap

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auch hier würde ich alles mit Gauß machen.
Grund auch hier: man behält den Überblick, Nullzeilen etc. sind sofort sichtbar.

14.03.2015, 18:29

Iorek

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Zitat:

Original von Dopap
auch hier würde ich alles mit Gauß machen.

Wenn ich eine Alternative ohne all zu viel Rechnerei geben darf: Determinante. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.03.2015, 18:36

Rivago

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Hm, also ich hab doch dann folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\1 & 0 & t & 0\\2 & 1 & t-1 & 0\end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie geht das jetzt mit der Determinante?

Mit Gauß ergibt sich ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\0 & -1 & t-1 & 0\\0 & 0 & -2 & 0\end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was sagt mir das nun?

14.03.2015, 19:32

Dopap

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Zeile 3: -2*v=0 --> v=0

Zeile 2: -k + 0*(t-1)=0 --> k=0

Zeile 1: s +0 +0 =0 --> s=0

und jetzt du.

Mit Determinante geht es noch einfacher.

Aber, wir wollen ja den Gauß üben und üben und üben ... bis er "sitzt" smile

smile

14.03.2015, 19:35

Rivago

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Naja, es kommt 3 mal 0 raus, somit sind die Vektoren linear unabhängig.

Wie geht es mit Determinante?

14.03.2015, 19:43

Dopap

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nun, mit Gauß hast du ja schon vorgearbeitet.
Welchen Wert hat die Determinante, wenn unterhalb der Diagonalen Nullen stehen ?

14.03.2015, 19:44

Rivago

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Naja, die Werte auf der Hauptdiagonale miteinander multipliziert ergibt den Wert der Determinante.

14.03.2015, 19:51

Dopap

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so geht es nicht unglücklich

unglücklich

Das war eine konkrete Frage und auch die Interpretation gehört zur Antwort.

14.03.2015, 19:58

Rivago

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Sie hat den Wert 2..

14.03.2015, 20:14

Dopap

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... und weil $\begin{eqnarray*} 2\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, sind die Vektoren linear unabhängig.

14.03.2015, 20:21

Rivago

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Achso.. Also das war jetzt der Weg über die Determinante?

Dann muss ich den Gauß aber auch machen..

14.03.2015, 21:47

Dopap

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den Gauß hast du doch oben schon gemacht. verwirrt

verwirrt

Ergebnis: alle Parameter = 0.

Überarbeitet ? Mach nicht zuviel auf einmal !

14.03.2015, 21:52

Rivago

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Möglicherweise.. ich hab übernächste Woche Prüfung und muss noch sehr viel machen.. Da muss ich jetzt durch. unglücklich

unglücklich

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