Additionstheoreme anwenden

14.03.2015, 16:08

Curvin

Additionstheoreme anwenden

Hallo liebe Mathe-Gemeinde
hier nun die Aufgaben

Ich soll zeigen das

$\begin{eqnarray*} A) cos(x) = sin(x +\frac{\pi }{2}) und cos (x-\frac{\pi }{2}) = sin (x) \end{eqnarray*}$

B) cos(x) ist im Intervall [0; pi ] streng monoton fallend.

$\begin{eqnarray*} C.) sin(x) ist im Intervall (-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}) streng monton steigen \end{eqnarray*}$

Additionstheoreme soll ich hier frei verwenden dürfen

Das Konzept vom Einheitskreis verstehe ich wie eine Funktion aussieht die monoton oder streng monoton steigt oder fällt is mir auch bekannt. Aber weiter wies ich auch leider nicht.

Bitte um Hilfe hierbei!

14.03.2015, 20:36

HAL 9000

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zu A)

Zitat:

Original von Curvin
Das Konzept vom Einheitskreis verstehe ich

Du meinst damit die Definition der Winkelfunktionen im Einheitskreis? Na das ist ja prima, dann wirst du sofort einsehen, dass

$\begin{align*} \sin(x) = \cos\left( \frac{\pi}{2}-x \right) \end{align*}$

gilt, und zwar per Vertauschung der Rollen von x- und y-Achse (bzw. Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1./3.Quadranten).

Außerdem folgt aus der Kosinusdefinition im Einheitskreis auch sofort $\begin{align*} \cos(x)=\cos(-x) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ .

Beides kombiniert ergibt schon mal die zweite Gleichung $\begin{align*} \sin(x) = \cos\left( x-\frac{\pi}{2} \right) \end{align*}$ . Die erste folgt unmittelbar, wenn man statt $\begin{align*} x \end{align*}$ einfach $\begin{align*} x+\frac{\pi}{2} \end{align*}$ in jene zweite Gleichung einsetzt.

Zitat:

Original von Curvin
Additionstheoreme soll ich hier frei verwenden dürfen

Ist wie oben gesehen gar nicht nötig.

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