Monotonie und Beschränktheit der Folge n^2*2^-n

14.03.2015, 20:15

ChrizZly

Monotonie und Beschränktheit der Folge n^2*2^-n

Folgende Aufgabe ist zu lösen:

(a)Untersuchen Sie die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = n^{2}2^{-n}, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
auf Monotonie und Beschränktheit anhand der Definitionen. Was lässt sich hieraus folgern?

Hinweis: Es darf angenommen werden, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 2^{-n} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Mein Ansatz für die Monotonie:

$\begin{eqnarray*} a_{1} \leq a_{2} \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} a_{4} \leq a_{3} \end{eqnarray*}$ Beweis durch Widerspruch ist aber nicht die Aufgabe. Mit vollständiger Induktion habe ich es versucht. Scheitere aber daran, dass ich nichts finde, was die nicht monotonie eindeutig. Also ich komme auf keine Formel, bei der man dies auf den ersten Blick sehen kann. Falls die vollständige Induktion der richtige Ansatz ist, kann ich auch meine Rechnung reinstellen (ist viel mit LaTex rumhantieren, weshalb ich keine Lust habe dies zu poste, wenn es sowieso nicht wichtig ist)

Mein Ansatz zur Beschränktheit:

Funktion ist nach unten Beschränkt. Also $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq S \end{eqnarray*}$ . Ich habe versucht dies nach n Aufzulösen, aber ich bekomme es nicht hin in einer besseren Art, als es schon da steht. An $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}}{2^{n}} \end{eqnarray*}$ kann man ja nicht so leicht ablesen, was $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sein muss.

Den Hinweis habe ich versucht in der Beschränktheit zu berücksichtigen. Die Folge konvergiert gegen 0, da $\begin{eqnarray*} 2^{-n} \end{eqnarray*}$ schneller gegen 0 geht, als $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ gegen unendlich. Ist dies Formal so richtig? Anschließend wollte ich noch schauen, ob es ein $\begin{eqnarray*} n^{2}2^{-n} = 0 \end{eqnarray*}$ gibt. Da dies ja eigentlich die Beschränktheit nach unten beweisen sollte. Jedoch wäre dies ja wieder kein Beweis nach der Definition.

Danke für hilfreiche Antworten schonmal im Vorraus.

Gruß

ChrizZly

14.03.2015, 20:36

Helferlein

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Zum ersten: Du hast ein Gegenbeispiel gefunden, womit bewiesen ist, dass die Folge nicht auf ganz N monoton ist. Aber darum geht es gar nicht. Die Folge ist nämlich schon monoton, aber erst ab einem gewissen n (welches Du selber herausfinden solltest. Zur Not mit einem Funktionsplotter/Excel und anschließendem Beweis)

Zum zweiten: Eine untere Schranke ist ziemlich einfach zu finden, eigentlich ohne großartige Überlegungen.

14.03.2015, 20:38

nane

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Hallo ChrizZly,

Wie immer bei Folgen interessiert hier nur das Verhalten der Folge ab einem bestimmten Folgeglied $\begin{eqnarray*} a_{n_0} \end{eqnarray*}$ !
Du möchtest monoton fallend? Dann versuche mal den Quotienten
$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$
auszuwerten. Wie groß kann der denn, monoton fallend als wahr vorausgesetzt, werden?
Diese Ungleichung kannst du dann äquivalent umformen zu

$\begin{eqnarray*} n^2>2n+1 \end{eqnarray*}$

Die nächsten Schritte sind:

Gültigkeitsbereich in $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ der Ungleichung herausfinden. Ergibt obere Schranke.
Untere Schranke ist doch aber offensichtlich!!

Somit wäre deine Folge monoton und beschränkt.
Daraus folgt?

vlG nane

14.03.2015, 21:02

ChrizZly

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1) Wo ist denn hier nach der Monotonie ab einem bestimmten Punkt gefragt? Ich interpretiere die Aufgabe als monoton für die gesamte Folge.

Da steht ja $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ also muss ich doch jede natürliche Zahl berücksichtigen, oder?

Zitat:

Untere Schranke ist doch aber offensichtlich!!

Das habe ich ja auch geschrieben. Aber wie beweise ich es in einer Klausur anhand der Definition für Beschränktheit? Ich kann ja nicht einfach hinschreiben "Offensichtlich", wenn ein Beweis gefordert wird.

Nach oben beschränkt ist die Funktion an $\begin{eqnarray*} a_{3} =\frac{9}{8} \end{eqnarray*}$ da sie ab dem Punkt monoton fällt und dort einen "Hochpunkt" hat.

Dies ist jedoch auch nicht mit der Definition bewiesen.

Zitat:

Somit wäre deine Folge monoton und beschränkt.
Daraus folgt?

Daraus folgt Konvergenz. Jedoch sehe ich hier noch keine vollständige Monotonie.

14.03.2015, 22:06

Helferlein

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Vielleicht solltest Du Dir noch mal den entsprechenden Satz zur Konvergenz von reellen Folgen durchlesen. Da wird definitiv keine komplette Monotonie gefordert.
Eine Veränderung von endlich vielen Werten ändert ja nichts an der Konvergenz der Folge.

Bei der unteren Schranke wüsste ich gerne, welche Du ausgemacht hast. Die, die ich meine ist -wie ja schon gesagt - offensichtlich und in wenigen Sekunden nachgewiesen.

14.03.2015, 22:14

ChrizZly

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Scheint als hätte ich etwas nicht verstanden. Ich sehe die Monotonie hierbei als eine eigene Aufgabe, welche (noch) nichts mit der Konvergenz zu tun hat.

Meine Untere Schranke ist 0, da:

Zitat:

Den Hinweis habe ich versucht in der Beschränktheit zu berücksichtigen. Die Folge konvergiert gegen 0, da $\begin{eqnarray*} 2^{-n} \end{eqnarray*}$ schneller gegen 0 geht, als $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ gegen unendlich. Ist dies Formal so richtig? Anschließend wollte ich noch schauen, ob es ein $\begin{eqnarray*} n^{2}2^{-n} = 0 \end{eqnarray*}$ gibt. Da dies ja eigentlich die Beschränktheit nach unten beweisen sollte. Jedoch wäre dies ja wieder kein Beweis nach der Definition.

Reicht dieser Satz als Beweis anhand Definition?

15.03.2015, 00:08

Helferlein

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Du scheinst entweder eine falsche Vorstellung von Beschränktheit zu haben oder zumindest eine zu komplizierte Denkweise.
Es ist doch unbestritten, dass sowohl $\begin{align*} n^2 \end{align*}$ als auch $\begin{align*} 2^{-n} \end{align*}$ stets größer als 0 ist. Damit ist natürlich auch deren Produkt größer als Null, was also eine untere Schranke der Folge darstellt. Mit Konvergenz und Grenzwert hat dieser Teil erst einmal nichts zu tun. Mal ganz davon abgesehen, dass es Quatsch wäre sich hier auf die Konvergenz zu berufen, wo man diese doch erst folgern will.

Zum Thema Monotonie hat nana ja schon einen Hinweis gegeben. Und nein, es geht nicht um eine globale Monotonie. Wenn die Aufgabe mit "Untersuchen sie" beginnt, dann sind Bereiche gefragt in denen die Eigenschaft zutrifft. Anders wäre es, wenn die Aufgabe lauten würde "Zeigen oder widerlegen Sie, dass die Folge monton ist".

15.03.2015, 11:16

ChrizZly

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Ok. scheint als hätte ich die Aufgabe teilweise falsch verstanden. Jetzt habe ich es aber. Danke an euch beide. Wink

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