Partialbruchzerlegung, Lösung plausibel?

14.03.2015, 20:42	mathelutscher	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung, Lösung plausibel? Meine Frage: $\begin{eqnarray} \frac{x²-2x+2}{x²+4x+4} \end{eqnarray}$ Nullstellen des Nenners: x1,2 = -2 (doppelte reelle Nullstelle) Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{x²-2x+2}{x²+4x+4} = \frac{A}{(s+2)} + \frac{B}{(s+2)²} \end{eqnarray}$ A = 1 B = -3 Meine Ideen: für A habe ich die Nullstelle 2 in die Gleichung eingesetzt. Für B habe ich einfach 1 genommen (darf man ja machen, wenn ich es richtig verstanden habe). Hatte dann ein Gleichungssystem und nachdem lösen den Wert für B.
14.03.2015, 20:54	mathelutscher	Auf diesen Beitrag antworten »
ach, meine Nullstelle ist ja -2 dementsprechend muss ich ja -2 einsetzen. also kommt für B=10 raus und wenn ich dann +2 einsetze A = -2
14.03.2015, 21:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist unplausibel, wie du siehst wenn du die rechten Brüche beim Ansatz zusammenfasst. Dann hast du den Nenner wie links, aber im Zähler steht nur ein lineares, kein quadratisches Polynom. Deswegen muss man links erst Polynomdivision durchführen, s.d. der Zählergrad echt kleiner als der Nennergrad ist.
14.03.2015, 21:50	mathelutscher	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Polynomdivison durchgeführt und erneut errechnet: $\begin{eqnarray} \frac{-6x-2}{x+2} = \frac{10}{x+2} + \frac{-2}{(x+2)²} \end{eqnarray}$ Hoffe es passt jetzt!
14.03.2015, 21:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an links fehlt ein Quadrat im Nenner. Und so hast du rechts oben im Zähler 10x und links -6x.
14.03.2015, 22:00	mathelutscher	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{-6x-2}{(x+2)²} = \frac{10}{x+2} + \frac{-2}{(x+2)²} \end{eqnarray}$ ja, Quadrat vergessen. Wie jetzt A und B sind falsch?! 10x und -6x?!
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14.03.2015, 23:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast $\begin{eqnarray} \frac A {x+2} + \frac B{(x+2)^2} = \frac { Ax + 2A } {(x+2)^2} + \frac B{(x+2)^2} \end{eqnarray}$ . Damit folgt sofort $\begin{eqnarray} A = -6 \end{eqnarray}$ .

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