Division, stetig, R^2

15.03.2015, 18:01	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Division, stetig, R^2 Meine Frage: quot: $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \times (\mathbb{R} \times \{0\}) \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \rightarrow x/y \end{eqnarray}$ ist stetig. Meine Ideen: Hallo Sei $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ ein beliebiges Element von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ beliebig aber fest und für alle $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb{R}: \|x-x_0\|<\delta_1, \|y-y_0\|<\delta_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|q(x,y)-q(x_0,y_0)\|=\|\frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0}\| = \|\frac{xy_0-yx_0}{yy_0}\| = 2\frac{\|x(y_0-y)-y(x_0-x)\|}{\|y_0\|^2} \end{eqnarray}$ Dazu verwende ich $\begin{eqnarray} \|y-y_0\|<\frac{\|y_0\|}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|y_0\|=\|y_0-y+y\|\le \|y_0-y\|+\|y\|\Rightarrow \|y\|\ge \|y_0\|-\|y-y_0\| \ge \frac{\|y_0\|}{2} \end{eqnarray}$ Weiter in der Ungleichung: $\begin{eqnarray} 2\frac{\|x(y_0-y)-y(x_0-x)\|}{\|y_0\|^2} < 2\frac{(\delta_1+\|x_0\|)\|y_0-y\| - (\delta_2 + \|y_0\|)\|x_0-x\|}{\|y_0\|^2}< 2\frac{\|x_0\|\delta_2 - \|y_0\| \delta_1}{\|y_0\|^2} < \epsilon \end{eqnarray}$ Kann ich $\begin{eqnarray} \delta_1 \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \delta_2 \end{eqnarray}$ wählen, oder wie mache ich das bei der Wahl von $\begin{eqnarray} \delta_1, \delta_2 \end{eqnarray}$ am besten, sodass sie die letzte Ungleichung mit $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ erfüllen? Wegen einer Ungleichung im Beweis muss ich auch $\begin{eqnarray} \delta_2 < \frac{\|y_0\|}{2} \end{eqnarray*}$ wählen.

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