Rechnen mit Logarithmen

15.03.2015, 18:32

philipp98

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Rechnen mit Logarithmen

Meine Frage:
Hallo,

und zwar komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} ln\sqrt{x²+x^4} \end{eqnarray*}$ =?

Meine Ideen:
Mein Lösungsansatz: Ich löse als erstes die Wurzel auf und erhalte damit
ln von (x+x²)
dann besagt ja die eine potenzregel, dass man potenzen die potenziert werden man die exponenten miteinander multiplizieren muss, deswegen nehme ich den exponenten von dem x² und stelle ihn an den anfang der gleichung, also habe ich nun 2* ln von (x+x), das ist dann auch mein Endergebnis. Ist das richtig?

lg und danke für die Hilfe

15.03.2015, 18:35

philipp98

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RE: Rechnen mit Logarithmen
Man muss die Gleichung/den Logarithmus einfach nur vereinfachen, also auf ein Ergebnis oder so muss man nicht kommen, hoffe ihr versteht was ich mein^^

15.03.2015, 18:40

Mathema

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Na - da ist alles schief gelaufen, was verkehrt gehen kann. unglücklich

unglücklich

Fangen wir damit: Du darfst die Wurzel niemals in eine Summe ziehen. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Oder seit wann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3^2+4^2}=3+4=7 \end{eqnarray*}$ ?

Es ist ja wohl:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \end{eqnarray*}$

Schreibe die Wurzel mal als Potenz mit rationalen Exponenten. Was erhältst du?

15.03.2015, 18:47

philipp98

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Meinst du jetzt $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \end{eqnarray*}$ ? Das wäre 25^1/2

15.03.2015, 18:52

Mathema

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Das war doch nur ein Beispiel dafür, dass eben gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} \neq a+b \end{eqnarray*}$

Wenden wir deine Überlegung nun auf deine Aufgabe an ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} \ln\sqrt{x²+x^4} = \ln((x^2+x^4)^{\frac{1}{2}}) \end{eqnarray*}$

Jetzt ein passendes Logarithmengesetz anwenden. Was können wir machen, wenn im Numerus eine Potenz steht?

15.03.2015, 19:01

philipp98

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Dass man die Wurzel in einer Summe nicht ziehen darf hab ich wohl vergessen, das klärt einiges, danke^^

Ich würde die Potenz dann vor den Logarithmus setzen, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * ln\left(x^{2}+x^{4} \right) \end{eqnarray*}$

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15.03.2015, 19:03

Mathema

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Super.

Freude

Jetzt können wir die im Numerus die Summe noch in ein Produkt verwandeln (Stichwort: Faktorisieren).

edit: Das was du als Potenz bezeichnest, heißt übrigens Exponent.

15.03.2015, 19:09

philipp98

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Hmm, vielleicht so? $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}+x²)*ln(1+x²) \end{eqnarray*}$

Tut mir Leid dass ich frage, aber was ist überhaupt ein Numerus ? Hammer

Hammer

15.03.2015, 19:15

Mathema

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Nein

unglücklich

In einem Logarithmensystem $\begin{eqnarray*} \log_a(y) \end{eqnarray*}$ nennt man a die Basis und y den Numerus.

Klammern wir aus im Numerus ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} \ln\sqrt{x²+x^4} = \ln((x^2+x^4)^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}\ln(x^2(1+x^2)) \end{eqnarray*}$

Nun wieder ein Logarithmengesetz anwenden. Diesmal steht im Numerus ein Produkt.

15.03.2015, 19:27

philipp98

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*ln(x²(1+x²))= \frac{1}{2}*ln(x²)+\frac{1}{2}*ln(1+x²) \end{eqnarray*}$ ?

15.03.2015, 19:29

Mathema

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Ja.

Freude

Und deinen ersten Summanden könntest du jetzt noch weiter vereinfachen.

15.03.2015, 19:36

philipp98

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$\begin{eqnarray*} ln(x)+\frac{1}{2}*ln(1+x²) \end{eqnarray*}$ Meinst du so?

Könnte ich eigentlich auch den 2. Summanden vereinfachen indem ich $\begin{eqnarray*} ln(x)+ln(1+x) \end{eqnarray*}$ schreibe?

15.03.2015, 19:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von philipp98
$\begin{eqnarray*} ln(x)+\frac{1}{2}*ln(1+x²) \end{eqnarray*}$

VORSICHT: Der Originalterm $\begin{eqnarray*} \ln\sqrt{x^2+x^4} \end{eqnarray*}$ ist für negative reelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ definiert - dieser hier NICHT. unglücklich

unglücklich

15.03.2015, 19:43

philipp98

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Und was heißt das für mich?

15.03.2015, 19:49

Mathema

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Zitat:

Original von philipp98
$\begin{eqnarray*} ln(x)+\frac{1}{2}*ln(1+x²) \end{eqnarray*}$ Meinst du so?

Ja, da der Numerus hier nun aber auch negativ werden kann, müssen wir noch an unsere Betragsstriche denken. Es ist also:

$\begin{eqnarray*} ln|x|+\frac{1}{2}*ln(1+x²) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Könnte ich eigentlich auch den 2. Summanden vereinfachen indem ich $\begin{eqnarray*} ln(x)+ln(1+x) \end{eqnarray*}$ schreibe?

Nein - das wäre doch:

$\begin{eqnarray*} \ln(x)+\ln(1+x)=\ln(x(1+x))=\ln(x+x^2) \end{eqnarray*}$

Das können wir nicht weiter vereinfachen. Hätten wir hier ein Minuszeichen, dann könnten wir wieder Faktorisieren (3. binomische Formel). Als Summe geht das aber nicht.

edit: Danke für die Warnung HAL.

15.03.2015, 19:56

philipp98

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Danke für die Mühe. Hat mit echt geholfen smile

smile

Schönen Abend wünsche ich noch!

15.03.2015, 19:59

Mathema

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Gern geschehen!

Dir auch einen schönen Abend.

Wink

Wink

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