Exp-Gleichung widerlegen oder beweisen

15.03.2015, 18:37	xGleich42	Auf diesen Beitrag antworten »
Exp-Gleichung widerlegen oder beweisen Ich will folgende Gleichung für natürliche a>1 beweisen oder widerlegen: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^a exp(2\pi~i~\frac{n}{a}) = 0 \end{eqnarray}$ Für gerade Zahlen habe ich das bereits gezeigt, und laut dem Programm, dass ich geschrieben habe, ist die Summe für die Zahlen von 2 bis 100000 gleich 0 (+-10^-9). Aber für ungeraden Zahlen hab ich keine Ahnung wie ich das machen soll.
15.03.2015, 18:42	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, könnte man diese Aussage vielleicht mit der Euler-Identität $\begin{eqnarray} e^{ix} = cos(x) + i \cdot sin(x) , \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ beweisen bzw. widerlegen? Ich vermute, dass hierbei auch die geometrische Reihe eine entscheidende Rolle spielen kann. Viele Grüße Widderchen
15.03.2015, 18:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{align} \exp\left(2\pi i \frac{n}{a} \right) = \left( \exp\left( 2\pi i \frac{1}{a} \right)\right)^n \end{align}$ , man kann die Summe links in deiner Behauptung demnach als Partialsumme einer geometrischen Reihe auffassen.
15.03.2015, 18:52	xGleich42	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Euler-Identität krieg ich den imaginär teil weg aber bei der summe über den cosinus komm ich nicht weiter. Ist die geometrische reihe für komplexe zahlen definiert?
15.03.2015, 19:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar, warum nicht. Außerdem geht es hier nur um Partialsummen dieser Reihe, d.h. Konvergenzfragen sind hier gar nicht relevant: Es ist $\begin{align} \sum_{n=0}^m q^n = \frac{1-q^{m+1}}{1-q} \end{align}$ für alle komplexen $\begin{align} q\neq 1 \end{align}$ sowie $\begin{align} m\in\mathbb{N}_0 \end{align}$ .
15.03.2015, 19:30	xGleich42	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hast recht, hatte ein Brett vorm Kopf Vielen dank
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