Extremwertaufgabe. Offene Schachtel

16.03.2015, 13:57

Gamtja

Extremwertaufgabe. Offene Schachtel

Problem:
Eine oben offene Schachtel soll ein Fassungsvermögen von 1000cm³ haben. Ermittle die Maße, so dass ihre Oberfläche und damit der Materialverbrauch minimal werden.

Woher weiß ich in diesem Beispiel das ich ein Extremum gefunden habe ?
In meine Buch wird garnicht die zweite Ableitung gebildet, obwohl das eig. eine Bedingung ist die bei einem lokalen Extrempunkt erfüllt sein muss oder?

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} V = a*b*c \Rightarrow c = \frac{1000}{a*b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O = a*b + 2*a*c + 2*b*c = a*b + \frac{2000}{b} + \frac{2000}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_{(a)}' = b - \frac{2000}{a²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = \frac{2000}{a²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O_{(a)}'' = \frac{2000}{a³} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_{(b)}' = a - \frac{2000}{b²} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun beweisen das es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist ?

16.03.2015, 14:05

moody_ds

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RE: Extremwertaufgabe. Offene Schachtel

Zitat:

Original von Gamtja
In meine Buch wird garnicht die zweite Ableitung gebildet, obwohl das eig. eine Bedingung ist die bei einem lokalen Extrempunkt erfüllt sein muss oder?

Auch bei globalen Extrempunkten Augenzwinkern

Wenn du es richtig machen willst müsstest du natürlich überprüfen ob $\begin{eqnarray*} f''(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Zitat:

Original von Gamtja
Wie kann ich nun beweisen das es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist ?

Für $\begin{eqnarray*} f''(x) < 0 \end{eqnarray*}$ erhälst du ein Maximum.
Für $\begin{eqnarray*} f''(x) > 0 \end{eqnarray*}$ erhälst du ein Minimum.

lg moody

16.03.2015, 14:13

Gamtja

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Ja aber, meine zweite Ableitung ist ja :
$\begin{eqnarray*} O_{(a)}'' = \frac{2000}{a³} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich ja schon sagen das a weder 0 noch unendlich groß sein kann. Und negativ kann a auch nicht sein.

D.h. es kann immer nur ein Tiefpunkt sein den ich finde ?????
Weil die zweite Ableitung nie negativ sein wird.

Ich hab ja die Ergebnisse aus dem Buch, und wenn ich die einsetze dann kommt in der zweiten Ableitung eine Zahl > 0 heraus, ok ein Tiefpunkt. Aber was mich verwirrt, das heißt ich kann hier nur Tiefpunkte finden und keine Hochpunkte ? Warum keine Hochpunkte ?

16.03.2015, 14:20

moody_ds

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Ich habe jetzt erstmal nur die beiden Fragen beantwortet. Schau dir doch mal an wie viele Variablen du hast und wie viele Gleichungen du bisher hast. Wie bastelt man so eine Schachtel?
Wir sollten jetzt erstmal sehen, dass du alle deine Gleichungen findest.

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