Konvergenz von uneigentlichen Integralen

16.03.2015, 17:46

Tony12

Konvergenz von uneigentlichen Integralen

Hallo! Wir haben eine Musterlösung zu einer Aufgabe bezüglich der Konvergenz von uneigentlichen Integralen bekommen und es gibt einige Stellen, die ich nicht ganz verstehe.

1.

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} ln(sin(x))dx=-\int_0^{\pi/2} ln(sin(x))dx \end{eqnarray*}$

Wieso ist hier das Minus egal?

2.

Das nächste Integral ist

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{ln(x)}{e^{2x}-e^x} dx \end{eqnarray*}$

Ein paar Schritte später wurde die 1 (bei der Grenze) zu 1/e verändert. Wieso darf man das?

3.

Das Integral ist $\begin{eqnarray*} \int_0^{+ \infty} \frac{x ln(x)}{(x^2+1)^3} dx \end{eqnarray*}$ .

Später wurde gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \int_0^{+ \infty} \frac{x ln(x)}{(x^2+1)^3} dx \leq c+ \_1^{\infty } \frac{x^2}{(x^2)^3} \end{eqnarray*}$ . Dieser Ausdruck ist konvergent, also ist das ursprüngliche Integral auch konvergent. Das macht alles Sinn, aber es gibt davor noch einen Schritt, der mir nicht ganz klar ist:

Es wurde gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} lim_{x \to 0} (x*ln(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Was ist der Zweck davon?

16.03.2015, 18:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tony12
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} ln(sin(x))dx=-\int_0^{\pi/2} ln(sin(x))dx \end{eqnarray*}$

Wieso ist hier das Minus egal?

Ist es nicht: Diese Gleichung ist falsch.

16.03.2015, 18:52

bijektion

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1. Ist es nicht.
2.

Zitat:

Ein paar Schritte später wurde die 1 (bei der Grenze) zu 1/e verändert. Wieso darf man das?

Keine Ahnung, ich weiß nicht welche Schritte gemacht werden.
3. Weil der $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ von Null nicht definiert ist.

16.03.2015, 19:11

Tony12

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Danke.

Gut, das dritte macht jetzt Sinn.

Bzgl. der ersten Frage: Kann es sein, dass der Absolutbetrag genommen wurde?

Das 2.: Der Absolutbetrag der Funktion wurde genommen und es wurde gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{-ln(x)}{e^{2x}-e^x} \geq \frac{1}{e} * \frac{1}{e^x -1} \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

"Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \in (0, \frac{1}{e}) \end{eqnarray*}$ erhalten wir mit der Monotonie des Integrals
$\begin{eqnarray*} I_{\epsilon}= \int_{\epsilon}^{\frac{1}{e}} \| \frac{ln(x)}{e^{2x}-e^x} \| dx. \end{eqnarray*}$ "

Dann wurde gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \int_{\epsilon}^{\frac{1}{e}} \| \frac{ln(x)}{e^{2x}-e^x} \| dx \end{eqnarray*}$ . divergent ist und daraus wurde gefolgert, dass das ursprüngliche Integral auch divergent ist.

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