Paarweise Verschiedenheit von Abbildungen herausfinden

16.03.2015, 17:46

l3loodHunter

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Paarweise Verschiedenheit von Abbildungen herausfinden

Hallo Leute,

bin mir bei meiner Lösung meiner Hausaufgabe nicht ganz sicher. Die Aufgabe lautet:

1. Es seien $\begin{eqnarray*} X = \{1, 2, 3, 4, 5\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y = \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ . Wieviele Abbildungen $\begin{eqnarray*} g: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ gibt es und wieviele gibt es, für die $\begin{eqnarray*} g(1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(5) \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind.

Lösung: Es gibt insgesamt $\begin{eqnarray*} 5^6 \end{eqnarray*}$ Abbildungen, weil jedes $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ 6 Möglichkeiten hat einem $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ zugeordnet zu sein.

Jetzt muss man noch die Abbildungen finden für die gilt:
$\begin{eqnarray*} g(1)\neq g(3), g(1)\neq g(5), g(3)\neq g(5) \end{eqnarray*}$

I. $\begin{eqnarray*} g(1)\neq g(3 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 6 \cdot 6^3 \end{eqnarray*}$ , denn wenn man sich eine Abbildung vorstellt für die $\begin{eqnarray*} g(1)=g(3) \end{eqnarray*}$ gilt, gibt es genau $\begin{eqnarray*} 6^3 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten den restlichen Elementen $\begin{eqnarray*} [g(2), g(4), g(5)] \end{eqnarray*}$ Elemente aus Y zuzuordnen. Dies ist genau 6 Mal möglich, weil $\begin{eqnarray*} g(1)=g(3) \end{eqnarray*}$ in 6 Verschiedenen Arten gleich sein können (z.B. $\begin{eqnarray*} g(1)=1=g(3) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(1)=2=g(3) \end{eqnarray*}$ ).

Wie kann ich jetzt das selbe für die paarweise Verschiedenheit von g(1), g(3) und g(5) herausfinden. Ich weiss nicht inwiefern sich die Lösungen überschneiden. unglücklich

unglücklich

16.03.2015, 17:57

Captain Kirk

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Hallo,

bei deiner Berechnung gibst du die die Mächtigkeit des Gegenereignisses an und nicht das was du ausrechnen willst.

Ich sehe allerdings wie diese Berechnung bei der Aufgabe hilft.

Wie wie viele Möglichkeiten gibt es denn dafür 3 verschiedene Zahlen aus 6 zu treffen?

16.03.2015, 18:11

l3loodHunter

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Ich möchte ja die Anzahl der Abbildungen ausrechnen, für die die Bedingung zutrifft, um sie vom Gesamtergebnis abzuziehen.

3 aus 6 wären:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3\cdot2} = 20 \end{eqnarray*}$

16.03.2015, 18:14

Captain Kirk

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Zitat:

Ich möchte ja die Anzahl der Abbildungen ausrechnen, für die die Bedingung zutrifft, um sie vom Gesamtergebnis abzuziehen.

Dann sag/schreib doch bitte auch.

Zitat:

3 aus 6 wären:

So und warum hab ich das wohl gefragt?

16.03.2015, 18:18

l3loodHunter

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Also $\begin{eqnarray*} 6^5 - |\{n\in N:g(1)=g(3),g(1)=g(5),g(3)=g(5) \}| \end{eqnarray*}$

Weil es 20 Möglichkeiten gibt, für die 3 Zuordnungen paarweise Verschieden sein könnten? verwirrt

verwirrt

16.03.2015, 18:48

Captain Kirk

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Der Weg den du versuchst zu gehen ist ziemlich umständlich.

Daher war mein

Zitat:

Wie wie viele Möglichkeiten gibt es denn dafür 3 verschiedene Zahlen aus 6 zu treffen?

zu steueren. Anscheinend war das zu subtil.
Bestimme die Möglichkeiten für die Werte g(1),g(3),g(5). (mit obigem)
Bestimme dann die Möglichkeiten für g(2),g(4),g(6).
Damit hast du dann die Gesamtanzahl.

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16.03.2015, 19:48

l3loodHunter

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Sorry ich raffs einfach nicht unglücklich

unglücklich

Ich habe hier die Lösung von meinem Prof. vorliegen. Und der hat da praktisch nichts dazu geschrieben (also wie sie zustande kommt):

$\begin{eqnarray*} 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4 = 4320 \end{eqnarray*}$

Ich kann nur vermuten, dass die $\begin{eqnarray*} 4\cdot5 = 20 \end{eqnarray*}$ den 20 Möglichkeiten entspricht, in denen man 3 Elemente aus 6 auswählen kann und das dann mal $\begin{eqnarray*} 6^3 \end{eqnarray*}$ rechnet, weil 3 "variable" Elemente übrig bleiben. unglücklich

unglücklich

16.03.2015, 19:59

Captain Kirk

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Zitat:

Sorry ich raffs einfach nicht unglücklich

Und ich hab den Eindruck, dass du mir nicht zuhörst.
Ich habe im letzten Post nicht Erklärendes geschriebenes, also nichts was es zu raffen gäbe.
Ich hab Einzelschritte gegeben die du sinnvollerweise bearbeitest und die dich dann hoffentlich zu einem Ergebnis führen.

16.03.2015, 20:16

l3loodHunter

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Also gut:

Es gibt 20 Möglichkeiten g(1), g(3), g(5) so zu wählen, dass 20 Kombinationen denkbar sind, in welchen sie paarweise verschieden sind. Zusätzlich können sich während dessen die Werte g(2) und g(4) in 6*6 Kombinationsmöglichkeiten ändern. Dann wären wir bei 20 * 6 * 6.

Zitat:

Bestimme dann die Möglichkeiten für g(2),g(4),g(6).

Da X nur aus 5 Elementen besteht, verstehe ich nicht woher die g(6) kommen soll.

16.03.2015, 20:22

Captain Kirk

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Zitat:

Es gibt 20 Möglichkeiten g(1), g(3), g(5) so zu wählen, dass 20 Kombinationen denkbar sind,

geschockt

Zitat:

Da X nur aus 5 Elementen besteht, verstehe ich nicht woher die g(6) kommen soll.

Nirgendwoher, das war ein Tippfehler meinerseits.

16.03.2015, 20:25

l3loodHunter

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Öh ich meine man kann g(1), g(3) und g(5) in höchstens 20 Kombinationen wählen, dass sie paarweise verschieden sind. smile

smile

16.03.2015, 20:30

Captain Kirk

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Nö, es sind deutlich mehr.
Und höchstens bringt hier nichts, gesucht ist die genaue Zahl.

Du hast 6 nummerierte Sitzplätze und drei Personen (ein sehr kleines Kino z.B.)
Wieviele verschiedene Kombinationen Personen auf Sitzplätze gibt es?

16.03.2015, 20:38

l3loodHunter

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Zitat:

Du hast 6 nummerierte Sitzplätze und drei Personen (ein sehr kleines Kino z.B.) Wieviele verschiedene Kombinationen Personen auf Sitzplätze gibt es?

6*5*4=120 Möglichkeiten, weil die erste Person aus 6 Plätzen, die zweite aus 5 und die dritte aus 4 Plätzen aussuchen kann.

Zitat:

Und höchstens bringt hier nichts, gesucht ist die genaue Zahl.

Schlechte Wortwahl. Es sind doch genau 20, ich habe es sogar manuell abgezählt. (z.B. 123, 124, 125, ..., 456)

16.03.2015, 20:42

Captain Kirk

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Zitat:

6*5*4=120 Möglichkeiten, weil die erste Person aus 6 Plätzen, die zweite aus 5 und die dritte aus 4 Plätzen aussuchen kann.

Richtig.

Zitat:

ich habe es sogar manuell abgezählt. (z.B. 123, 124, 125, ..., 456)

Und dabei einige vergessen, z.B. 654.

Zitat:

Schlechte Wortwahl.

Und das ist ein Riesenproblem in der Mathematik wo es darum geht sich genau auszudrücken.

16.03.2015, 20:42

HAL 9000

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20 sind zu wenig - viel zu wenig
@l3loodHunter

Auswahl 3 aus 6, na klar - aber:

Du solltest mal darüber nachdenken, ob hier Auswahlen ohne Berücksichtigung der Auswahlreihenfolge (Kombinationen) oder doch eher Auswahlen mit Berücksichtigung der Auswahlreihenfolge (Variationen) angemessen sind.

16.03.2015, 20:49

l3loodHunter

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Hammer

Unfassbar. Natürlich ist 234 oder 432 hier zu unterscheiden, da g(1)=2 sich von g(1)=4 unterscheidet. D.h. man muss alle Permutationen errechnen. Also 6*5*4=120 und das dann mal 6^2 rechnen, weil diese für g(2) und g(4) stehen, die jeweils aus 6 Elementen bestehen können. Das macht insgesamt: 6*5*4*6*6 wie in der Lösung von meinem Prof. Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank Leute! Ich kann das Thema Kombinatorik einfach nicht leiden und mache es mit sehr kleiner Motivation! smile

smile

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